TOPREFERAT.COM.KZ - Қазақша рефераттар

 Мазмұны



Кіріспе........................................................................................................... 3

1 Мектеп математика курсындағы комбинаторика және оны ықтималдықды есептеуде қолдану тақырыбының теориялық негіздер……………………............................................................ 6

1.1 Комбинаторика ұғымы.................................................................. 6

1.2 Қайталанбайтын таңдамалар үшін комбинаторика формулалары...... 8

1.3 Қайталамалы таңдамалар үшін комбинаторика формулалары..... 13

1.4 Ықтималдықтарды есептеу тәсілдері. Элементтердің парлары......... 18

2 Мектеп математика курсындағы комбинаторика және оны ықтималдықды есептеуде қолдану тақырыбын оқыту........................ 31

2.1 Қосу және көбейту ережелері.Комбинациялардың тізімі.

Лексикографиялық рет.......................................................................... 31

2.2 Алмастырулар мен орналастырулар. Факториал................................. 33

2.3 Терулер..................................................................................................... 35

2.4 Ықтималдықтарды есептеудегі комбинаторика.................................. 38

2.5 Тақырыптың қазіргі мектеп математика оқулықтарында баяндалуына талдау................................................................................ 49

Қорытынды.............................................................................................. 61

Пайдаланылған әдебиеттер.................................................................... 62

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Жұмыс көлемі: 61 бет
Пәні: Соңғы қосылған дипломдық жұмыстар

-----------------------------------------------------------------------------------

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫСТЫҢ ҚЫСҚАРТЫЛҒАН МӘТІНІ
 Мазмұны

Кіріспе........................................................................................................... 3

1 Мектеп математика курсындағы комбинаторика және оны ықтималдықды есептеуде
1.1 Комбинаторика ұғымы.................................................................. 6

1.2 Қайталанбайтын таңдамалар үшін комбинаторика формулалары...... 8

1.3 Қайталамалы таңдамалар үшін комбинаторика
1.4 Ықтималдықтарды есептеу тәсілдері. Элементтердің парлары......... 18

2 Мектеп математика курсындағы комбинаторика және оны ықтималдықды есептеуде
2.1 Қосу және көбейту ережелері.Комбинациялардың тізімі.

Лексикографиялық рет.......................................................................... 31

2.2 Алмастырулар мен орналастырулар. Факториал................................. 33

2.3 Терулер..................................................................................................... 35

2.4 Ықтималдықтарды есептеудегі комбинаторика.................................. 38

2.5 Тақырыптың қазіргі мектеп математика оқулықтарында баяндалуына талдау................................................................................ 49

Қорытынды.............................................................................................. 61

Пайдаланылған әдебиеттер.................................................................... 62

Кіріспе

XX-ғасырдың екінші жартысында ғылым мен техниканың жаңа салаларының
Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтерін мектеп тәжірибесіне енгізу
Комбинаторика – математика тарауларының бірі. Мұнда шекті жиын элементтерінің
Теориялық зерттеу тұрғысынан алғанда комбинаторика алғаш рет ХVII ғасырдағы
Қазіргі кезде комбинаторика математика салаларының ішінде өте жедел дамып
Кейінгі жылдары комбинаториканың практикада кең қолданыс табуына электрондық есептегіш
Кейбір комбинаторикалық есептермен ежелгі грек математиктері де айналысқан. Дегенмен
ғасырдың екінші жартысында Паскаль мен Ферма арасындағы хат алысу
ғасырда жаратылыстану және тұрмыс-тіршілік мұқтаждықтары (бақылау қателіктері теориясы, оқ
Олардың қатарына П. Л. Чебышев (1821-1894), А. А. Марков
Қазақстанда да ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтері
Орта мектептерде «Комбинаторика элементтері» тақырыбын оқыту 1973-1975 жылдарда факультативтік
Қазіргі таңда комбинаторика, кездейсоқ жағдайлар алгебрасы және статистика теориясы
Орта мектептерде әзірге «Ықтималдықтар теориясының бастамасы» тақырыбын оқыту тәжірибесі
Жұмыстың мақсаты: ықтималдықтар теориясы
Зерттеу нысаны: мектеп математика курсынадағы ықтималдықтар теориясы мен комбинаторика
Зерттеу пәні: мектеп математика курсынадағы комбинаторика және оны ықтималдықты
Жұмыстың міндеттері: мектеп математика курсындағы комбинаторика және оны ықтималдықты
1 Мектеп математика курсындағы комбинаторика және оны ықтималдықты
Комбинаторика ұғымы

Классикалық анықтамаға негізделген ықтималдықтарды есептеу А
Мұндағы алынған әрiп тіркестерінің бір-бірінен айырмашылығы элементтерінде, не элементтерінің
Комбинаториканы пайдаланып оқиға ықтималдығын анықтау таңдаманы жиыннан алу тәсіліне
1 - м ы с а л Елімізде
Ш е ш у і Бұл есепті шешу әріптер
Бірінші тәсіл (қайталанбайтын таңдама). Бірінші алынатын әріп колодадағы 32
Екінші тәсіл (қайталанатын таңдама). Бірінші алынған әріп таңбасы белгіленген
32·32·32 = 323 = 32768

тәсілмен жасалады. Бұл жағдайда үш әріпті тіркестердің жасалуына ешқандай
Сонымен, 32 әріптен үш-үштен алу таңдама болып табылады. Бірінші
Бұл мысалдардың екеуінде де комбинация санын анықтағанда көбейтудің мынадай
Көбейту ережесі Егер А жиыны

элементтерінен, яғни m элементтен, ал В жиыны
Шынында да, бұларды түрінде m
1-кесте

В
...

...

... ... ... ... ...

...

Бұл таблицадағы әрбір тек бір реттен
Қайталанбайтын таңдама үшін комбинаторика формулалары 9-класс математикасында қорытылған. Бұл
1.2 Қайталанбайтын таңдамалар үшін комбинаторика формулалары

О р н а л а с т ы
(1)

Өрнекті ықшамдаған қолайлы. Ол үшін (1) өрнегінің оң жағын
яғни

(2)

Мұнда - эн факториал деп оқылады,
(3)

2 - м ы с а л
Ш е ш у і а) Колодадан алынған
ә) Алдымен n-ді анықтайық. n = 840 болатынын көрдік.
Алмастырулар N элементтен N-нен алынған орналастыруларды алмастырулар деп атайды.
(4)

3 - м ы с а л
Ш е ш у і а) Айырмашылығы
ә) Бұл алмастырулардың әрқайсысының шығу мүмкіндігі бірдей. Сонда
Т е р у л е р N
Сонымен, N элементтен әрқайсысы k элементтен алынған терулер
(5)

болады.

мәндерін (5) формулаға қойсақ.

(6)

Бұл өрнектің оң жақ бөлігіндегі бөлшектің алымын да, бөлімін
яғни

(7)

формуласы шығады. Бұл формуланы мұнан былай жиі қолданамыз. (6)
(8)

Есеп шығарғанда әдетте мұның екі жағын
Терудің негізгі екі қасиетін келтірейік. 1° - қ а
(9)

Мұны дәлелдеу үшін (6) формуладағы k орнына N-k қоямыз.
(10)

екені шығады. (6) және (9) өрнектерінің оң жақ бөліктері
2° - қ а с и е т

(11)

Мұны дәлелдеу үшін
Терудің екінші қасиетін пайдаланып Паскаль үшбұрышы деп аталатын төмендегі
Паскаль үшбұрьшы

1

1 1

1 2 1

1 3 3
1 4 6
1 5 10
1 6 15
1 7 21 35
Бұл үшбұрыштың құрылысымен танысқанда
Әрбір қатардағы сандардың қосындысы 2N санына тең. Мысалы, N=3
4 - м ы с ал N=100,
Ш е ш у і
Енді -ді Стирлинг формуласымен есептейік. Сонда

100!=

немесе

Сонымен бұл формуламен есептеу дәлдігі факториалдың нақты шын мәніне
5-мыса л Жәшікте бірдей N нәрсе бар. Олардың,
Ш е ш у і N нәрседен s-тен
6 - м ы с а л
Ш е ш у і 32 картадан
тәсілмен алуға болады. Бұл п-ге тең. а) Қолайлы элементар
Демек, іздеген ықтималдық

ә) 1 тұзды тәсілмен, 1 даманы
1.3 Қайталамалы таңдамалар үшін комбинаторика
Қайталамалы орналастырулар Осы уақытқа дейін элементтер жиынынан
7 - м ы с а л
Ш е ш у і Бұл есепті екі
Екінші тәсіл: цифрлары қайталана алатын әр түрлі екітаңбалы сандарды
8- м ы с а л Осы 1,
Ш е ш у і Үштаңбалы санның бірінші цифрын
Енді есептің шартын өзгертіп, яғни берілген 1, 2, 3
Элементтері қайталанып келетін N элементтен k-дан алынған орналастырулар

P =Mk
формуласымен өрнектеледі. Мұны қайталамалы орналастыру немесе қайталамалы таңдама формуласы
9 - м ы с а л
Шешуі а) 4-таңбалы нөмірдің әр цифры 0, 1, 2,
ә) 2, 4, 6, 8 төрт цифрдан телефонның әр
10- м ы с а л Дөңгелек
Шешуі 12 адамның әрқайсысынан сұрадық дейік. Сонда бірінші отырған
а) Енді осылардың ішінде туған жылдары әр түрлі болуға
ә) Үш адамның туған жылы 12 жылға
11-мысал 9 қабатты «Алматы» қонақ үйінің бірінші қабатында лифтіге
а) үшеуінің де 5-қабатта түсу ықтималдығын;

ә) үшеуінің кез келген бір қабатта түсу ықтималдығын;

б) екеуі бірге кез келген бір қабатта,
Шешуі Адам саны — 3, қабат саны—8 (өйткені
ә) 3 адамды лифтімен 8 қабаттың әрқайсысына
шығаруға болады, яғни . Олай болса,

б) Екі адамды 8 қабаттың әрқайсысына
Қайталамалы алмастырулар Жоғарыда қарастырған алмастыруда элементтердің барлығы да әр
12 - м ы с а л
Ш е ш у і а) Таңдамадағы әріптер әр
Бұл жағдайды 7 әріпті сөздердің бір типі «Қаратау» деген
2-кесте

1 2 3 4 5 6 7

А А А Қ Р Т У

Қ А Р А Т А У

4 1 5 2 6 3 7

4 1 5 3 6 2 7

4 2 5 1 6 3 7

4 2 5 3 6 1 7

4 3 5 1 6 2 7

4 3 5 2 6 1 7

тәсілмен шығады екен.

а) Бұл алмастырулардың әрқайсысының шығу мүмкіндігі бірдей. Сонда тең
13 - м ы с а л Бірдей
Шешуі а) Алмастыруларға енетін әріптер саны N=10. Бұл
ә) 10 әріпті тіркестер тең мүмкіндікті, қос-қостан үйлесімсіз, оқиғалардың
деп жазуға да болады. Сонымен барлық тең мүмкіндікті жағдайлар
Бұл мысалдардан шыққан нәтижелерді пайдаланып, мынадай қорытынды жасайық. М
(13)

Қайталамалы терулер Қайталамайтын терудің өзгешелігі кемінде бір элементінде болатын
Бұл есептің өткенде қарастырылған есептерден айырмашылығы бар. Кәмпиттер қандай
Мұның формуласын қорыту үшін мынадай бір мысал қарастырайық.

14-мысал Жәшікке орналасатын шарлар санына да және шарлардың
Шешуі Мұны көрсету үшін бір науаны (малдардың, су
(14)

Бұл қайталама теру формуласы [1].

1.4 Ықтималдықтарды есептеу тәсілдері. Элементтердің парлары

Элементтердің парлары r және s элементтерден тұратын
Шынында да, А және В жиындарының элементтерінен жасалған
Мысалдар

1-м ы с а л
Шешуі Екі ойын сүйегін лақтырғанда
2-м ы с а л Ұтысқа қатынасатын ақшалай-заттай
Ескерте кетелік, егер А жиынының әрбір элементіне В жиынының
Шекті А жиынының элементтерінің санын бұдан былай

п(А) арқылы белгілейміз.

Комбинаториканың негізгі принципі Әр қайсысы шеткі
Т е о р е м а (Көбейтіндінің теоремасы)
Дәлелдеу Толық математикалық индукция әдісін колданамыз. Индукцияны k бойынша
және деп белгілелік. элементтерінен
М ы с а л д а р

3-м ы с а л Бірде-бір цифры қайталанбайтын
Ш е ш у і Төрторынды санды
4-м ы с а л Телефон станциясы төрт
Шешуі Әрбір аппараттың номерін (і, j, k, l)
Кейбір оқулықтарда «кортеж» дегенің орнына «бір-бірлеп

алынған комбинация» деп те айтады.

n элементтерден түратын М жиынын қарастыралық.n элементтен
Бұл анықтама бойынша, сөйтіп, теру бір-бірінен өзгеше

болуы үшін оларды жасап тұратын элементтерінің ең болмағанда біреуінде
1-ден бастап n-re дейінгі натурал сандардың көбейтіндісі үшін n!
Дәлелдеуін келтірмей-ақ терулердің сандарын есептейтін формулаларды берелік.

немесе
мұндағы

Мысалдар

5-м ы с а л n бұрышты
керек.

Ш е ш у і Көпбұрыштың төбелерінің саны
6-м ы с а л Спортлото (49 дан
Шешуі Спортлото ойынының ережесі бойынша билеттегі 1-ден 49-ға
Математикада С =1 теңдігін қабылдауға келісілген.

Теру сандарын есептеу барысында оны жеңілдететін бір формуланы келтірелік:

(16)

Мұны дәлелдеп алу (4) формулалар арқылы қиын емес. (16)
теру сандарын биномдық коэффицценттер деп
жіктеуіндегі а мен b-ның орындарына 1-ді койғаннан келіп шығады.

Сонымен, мынандай қорытындыға да келдік: n элементтерден тұратын жиынның
Түрлі комбинаторикалардың ұғымын енгізудің бірнеше жолдары бар. Орналастырулар үшін
п элементтен тұратын жиынынан k көлемді
Теорема n элементтен k-дан жасалған орналастырулар саны
Дәлелдеу Орналастыруларды былай жасап шығалық: алдымен М
(17)

(18)

7-м ы с а л Үш ойын
Ш е ш у і Үш ойын
Бұл есепті жалпылауға болады. Егер S ойын сүйегін лақтырсақ
8-м ы с а л 7 жолаушысы бар лифт
Ш е ш у і Тәжірибедегі барлық жағдайлардың,
А арқылы «әр этажда бірден артық жолаушы түсіп қалмайды»
Енді (1) формула бойынша А-ның ықтималдығын есептейміз:

Ықтималдықтар теориясының оқулықтарында «орналастырулар» деген терминнің орнына «таңдамалар» (орысшасы
n элементтен n-нен жасалған орналастыруларды алмастырулар деп атайды. n
(19)

Орта мектепке арналған оқу құралдарында алмастыруды шекті жиынның элементтерін
9-м ы с а л Жас бала
Ш е ш у і Есептегі тәжірибенің элементар
2. 0, 1, 2, 3, 4 цифрларынан
Ш е ш у і Берілген цифрлардан көлемі
(4), (6) және (8) формулалардан теру, орналастыру және алмастыру
байланысы келіп шығады.

Жиындарды топтарға жіктеу Қайталамалы алмастырулар. Алдымен шекті жиындарға
Анықтама Егер Е жиынын өзара қиылыспайтын
болcа, онда Е жиыны жиындарына жіктелді
Теорема теріс емес бүтін сандары үшін
Дәлелдеу Алдымен Е жиынынан k1 элементі бар
көбейтіндісіне тең. Бұл санды арқылы белгілелік
Теорема дәлелденді.

Жиынды жоғарыда көрсетілгендей топтарға бөлуге сәйкес

комбинаторикалардың бірі — қайталамалы алмастырулар анықталады.

Анықтама а1 элементі k1 рет, а2 элементі k2
Қайталамалы мұндай алмастырулардың саны үшін белгілеуін
(20)

сандарды полиномдық коэффициенттер деп атайды, өйткені бұл коэффициенттер полиномдық
10-м ы с а л «Математика» сөзіндегі әріптерді алмастыра
қанша «сөз» жасап шығуға болады?

Ш е ш у і Әріптерді алмастыра отырып
11-м ы с а л 9 студентті екі,
Ш е ш у і Ізделінді санды
Қайталамалы терулер п элементтен k-дан жасалған қайталамалы терулер деп
Т е о р е м а п
(21)

Дәлелдеу Әрбір қайталамалы теруге бір және тек қана бір
Сонымен ізделінді саны 0 цифры п-1
Енді (4) формуланы ескерсек,

Cоңғы екі теңдіктерден (10) шығады.

аналитикалық функциясының k-шы ретті дербес туындылары дифференциалдаудың реттерінде байланысты
Қайталамалы терулерді анығырақ түсіну үшін бір ескерту жасалық. n
Максвелл – Больцман, Бозе – Эйнштейн және Ферми –
Әдетте статистикалық механикада фазалық кеңістікті үлкен санды кішкене n
Бір-бірінен айырмашылығы жоқ бөлшектерді қарастыралық. Барлығы k бөлшек және
Бұдан да басқа бөлшектердің ықтималдық теориясы тұрғысынан сипаттау үшін
Енді Ферми-Дирак статистикасын талдап көрелік. Бірінші гипотеза
Сонымен, статистикалық механикада маңызы бар мынадай қорытындыларға келдік: Максвелл-Больцман
Физикада қолданылып жүрген «Максвелл-Больцман статистикасы термині сөйтіп, бөлшектердің жәшіктерге
Комбинаторика элементтері

Алмастырулар а және в – екі элементтен,
екі элементтен 2 алмастыру, немесе 2! Алмастыру алуға болады,
Анықтама Алмастырулар деп, бір бірінен айырмашылығы орналасу ретінде
Орналастырулар

Бір біріне айрмашылығы орналасу ретінде немесе құрамында болатын п
яғни

1-м ы с а л 4 элементтен әрбіреуінде
комбинация құруға болады. Олар: ав, ас, аd, вс, bd,
Бірі-бірінен айрмашылығы құрамында (ең болмағанда бір элементі өзгеше болу
себебі

Ескерту Теру комбинацияларында элементтердің реті қаралынбайды.

2-м ы с а л 4 элементтен 2-ден
ға тең.

a, b, c, d: ad, ac, ad, bc, bd,
Негізгі қасиеттері

0!=1

бұл теңдік 0!=1 болғанда ғана орындалады, себебі

Шынында, m элементтен m-нен жасалатын теру саны 1-ге тең.

2 болса,

3

3-м ы с а л Спортлото (36-дан
Шешуі Бір билет толтыру үшін ойын ережесі бойынша
Сонымен, ұтысқа қатынасатын тең мүмкінді жағдайлар саны
Орналастыру,алмастыру, теру және олардың қайталамалы түрлері

Белгілі бір есептер шығарғанда шешуі: «нешеу», «неше тәсілмен» деген
Орналастырулар Берілген әр түрлі п элементтен k элемент
(22)

Мұнда п! – эн факториал деп оқылады, ол 1-ден
4-м ы с а л 7 әріптен
(23)

5-м ы с а л Үш ойын
Алмастырулар п элементтен п-нен алынған орналастыруларды алмастырулар деп
(24)

6-м ы с а л Әрбір 6 әріп
Егер элементі рет,
Қайталамалы мұндай алмастырулардың саны үшін белгілеуін
(25)

Әрқайсысына шекті жиындары берілсін
Терулер Берілген әртүрлі п элементтен
Терулердің жалпы саны мына формуламен есептелінеді.

(26)

Егер болса, онда
Мысалы, 10 адамнан 4 адам таңдап алудың жалпы саны
(27)

2 Мектеп математика курсындағы комбинаторика және оны ықтималдықты
2.1 Қосу және көбейту ережелері. Комбинациялардың тізімі. Лексикографиялық
«Комбинаторика» сөзі латынның combino – қосамын сөзінен шыққан.
Бұл жағдайда мүмкін болатын комбинациялардың жалпы санын табуға комбинаториканың
1-м ы с а л 1,2,3 цифрларынан құруға
Осы сандардың барлығын өсу ретімен бірінен-соң бірін жазып алып
11,12,13

21,22,23

31,32,33

Олар әрқайсысында үш-үштен болатын үш топқа бөлінетінін байқаймыз –
2-м ы с а л 1,2,3 цифрларынан
12,13

21,23

31,32

Енді осы үш топта тек екі элемент бар.

Кей жағдайда комбинацияның бірінші элементі ретінде
3-м ы с а л 1,2,3 цифрларынан бірінші
- егер бірінші цифры болып 1 таңдалса, екі тәсілмен;

- егер бірінші цифры болып 2 цифры таңдалса, бір
- егер 3 цифры таңдалса, 0 тәсілмен таңдай аламыз.

Қосудың комбинаторикалық ережесін қолдануға тура келеді, яғни барлық комбинацияларды
Енді көбейту ережесіне қайта оралып, оны тағы да жалпы
Осы ережені есеп шығаруға қолданамыз.

4-м ы с а л Компьютерде әрбір
01000110 – «F» әріпінің коды

00110010 – «2» цифрының коды, т.с.с.

Осылай қанша символды кодтауға болады? Басқа сөзбен айтқанда, ұзындығы
8 ноль мен бірден комбинация құра отырып, бірінші цифрды
Бұрыннан компьютер жадында символдарды енгізу үшін стандарт болған ASCII
Біз мұнда барлық 256 комбинацияны жазбаймыз, осы тізбектің басы
0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 1 0

1 1 1 1 1 1 1 0

1 1 1 1 1 1 1 1

Алдыңғы мысалдарда комбинацияларды жазуда біз олардың ретіне көңіл аударған
Комбинацияларда орнатуға болатын табиғи рет лексикографиялық деп аталады. Бұл
Осы айтылғандардан соң мына сұраққа жауап беріп көріңіз: соңғы
Тағы бір мысал екі комбинаторикалық ережені – көбейту мен
5-м ы с а л Коля мен Оля
1-ші класс: Коля шетте, Оля оның жанында отыр;

2-ші класс: Коля орта жағында отыр, Оля оның жанында
Бұл класстар шынында да қиылыспайды және барлық комбинацияларды қамтиды,
2-ші кластағы нәтижелер санын санайық: орындықтың ортасынан Коляға орынды
Қосу ережесі бойынша барлығы тәсіл бар
2.2 Алмастырулар мен орналастырулар. Факториал

Комбинаторикада комбинациялардың әрбір түріне арнайы атау беру қабылданған. Қазір
элементтен тұратын алмастыру деп осы элементтің
1-мысал А,В,С әріптерінен құрылған барлық алмастырулар лексикографиялық ретпен берілген:

АВС, АСВ, ВАС, ВСА, САВ, СВА.

элементтен элемент бойынша орналастыру деп осы
2- м ы с а л
Көбейту ережесі көмегімен алмастырулар мен орналастырулар саны оңай есептеледі.
n элементтен алмастыруды құрастыру кезінде бірінші элементті n тәсілмен,
3-кесте

n 0 1 2 3 4 5 6 7
n! 1 1 2 6 24 120 720 5040
Ыңғайлылық үшін 0!=1 деп алатынын атап өтейік.

Енді n элементтен k элемент бойынша орналастырулар санын табайық.
.

орналастыру аламыз (бұл көбейтіндіде k көбейткіш бар). Бұл көбейтіндіні
Табылған алмастыру мен орналастырулар саны комбинаторикада арнайы
Алмастырулар мен орналастырулар санын есептеу үшін қорытылып
,

Енді осы формулаларды пайдаланып бірнеше есепті шығарып көрейік.

3-м ы с а л 30 томнан тұратын
4-м ы с а л 30 томнан тұратын
болады.

2.3 Терулер

Біз көбейту мен қосудың комбинаторикалық ережелерін қарастырдық, сондықтан азайту
Шынында да бұл солай, бірақ олар көбейту кезіндегідей айқын
1-м ы с а л Жазылуында кемінде бір
Енді бөлу ережесін құрастырайық: егер ізделінді комбинацияларды санауда олардың
2-м ы с а л 25 оқушы оқитын
Бірінші оқушыны 25 тәсілмен, екінші оқушыны 24 тәсілмен, үшінші
Асанов -Оспанов -Оразов

Асанов - Оразов - Оспанов

Оспанов - Асанов - Оразов

Оспанов - Оразов - Асанов

Оразов - Асанов - Оспанов

Оразов - Оспанов - Асанов

яғни әртүрлі алты орналастыру түрінде кездескен болатын. Басқа
13800:6=2300 – бұл 25 оқушыдан үшеуін таңдау тәсілдерінің саны.

Соңғы мысалда біз комбинаторикада жиі пайдаланылатын комбинациялардың маңызды типімен
n элементтен k элемент бойынша теру деп n
Теру формуласын орналастыру формуласынан бөлу ережесінің көмегімен қорытып шығарамыз.
Табылған теру санын комбинаторикада арнайы белгімен -
түрінде жазылады.

Енді осы формула көмегімен бірнеше есеп шығарайық.

3-м ы с а л 36 картадан
болады.

Комбинацияларды санауда әдетте теру формуласын көбейту ережесімен бірге қолдануға
4-м ы с а л 36 картадан тұратын
Бізді қызықтыратын кез келген комбинацияны алу үшін 4 тұздың
тәсілмен, сонан соң екінші амалды

тәсілмен орындаймыз. Көбейту ережесі бойынша таңдау айқын түрде бола
5-м ы с а л Қанша тәсілмен бір
Егер БАлынған комбинациялар жоғарыда қарастырылған типтердің бірімен де сәйкес келмейтінін
7 орыннан 3 орынды

тәсілмен таңдауға болады – бұл комбинациялардың ізделінді саны.

Есепті басқаша да шығаруға болады. Ол үшін 7 орыннан
Бұл қасиет тікелей теру санының формуласынан шығады – формула
2.4 Ықтималдықтарды есептеудегі комбинаторика

Енді комбинаторикадан алынған мәліметтерді ықтималдықтар есептерінде пайдалануға көшеміз. Ең
Осындай нәтижелердің мысалдарын қарастыра отырып, біз оларды барлық мүмкін
Комбинаторикалық әдістерді пайдалану үшін негізінде тең мүмкіндікті нәтижелері бар
1-м ы с а л Алты оқушы кездейсоқ
«Кездейсоқ түрде отырды» деген сөзді – оқушылардың отыруларының барлық
«Коля мен Оляның қатар отыруы» оқиғасына қолайлы нәтижелер, алдында
.

2-м ы с а л 25 оқушы
«Жеребе бойынша 3 билет ойналды» деген сөз сыныптан кез
Ал оқиғаның жүзеге асуы үшін бір ғана Ира-Маша-Оля теруі
.

3-м ы с а л 36 картадан
«Кездейсоқ таңдалады» сөзі бұл тәжірибенің барлық
яғни таңдалған 6 картаның екеуі туз болуының ықтималдығы
4-м ы с а л 3 ақ
Біз бұдан алдын 3 ақ және 4 қара шарды
Демек, ізделінді ықтималдық -ке тең. Жалпы алғанда,
Оңтайлы нәтижелер санын табу үшін қанша алмастыру үшін түстер
.

Дәл жоғарыдағы жауап шықты.

5-м ы с а л 10 тиынды тастағанда
Оңтайлы нәтижелерді анықтау үшін біздің тәжірибеміздің «цифр» және «герб»
. Соңында

шығады.

6-м ы с а л N кубикті
Ең алдымен тек N>1 болғанда ғана есептің мәні
Ізделінді ықтималдық

болады.

Мына кестеде осы ықтималдық барлық мүмкін N үшін есептеліп
4-кесте

N 2 3 4 5 6 >6

P(A) 0,167 0,444 0,722 0,907 0,985 1

7-м ы с а л 12 ұл
Есепті басқаша құрамыз: осы сыныптың 24 оқушысының ішінен 12-ін
24-тен 12-сін таңдаудың тәсілдерінің барлығы

және бұл тәсілдердің барлығы теңмүмкіндікті. Оңтайлы нәтиже деп таңдалған
.

Ал ізделінді ықтималдық

болады.

8- м ы с а л Сыныпта 12
24 оқушыны 24 орынға 24! тәсілмен отырғызуға болады –
.

Комбинаторика формулаларын оқиғалардың ықтималдықтарын есептеуге қолдану

1- м ы с а л Ойын сүйегін
Шешуі

А- алтылық түскенін білдіреді. Онда

.

2- м ы с а л Іштей сызылған
Шешуі

3- м ы с а л Егер цех
Шешуі

Орташа есеппен 10 жарамсыз өнім болады.

4- м ы с а л
Шешуі

n-барлық мүмкін жағдайлар саны. Ал барлық қолайлы жағдайлар саны

-тең, себебі g-ге бөлгенде r-ге тең қалдық қалатын сандар
5- м ы с а л Алдыңғы есеп
Шешуі

n-барлық мүмкін жағдайлар саны, ал

6- м ы с а л
Шешуі

7- м ы с а л Ұзындықтары 2,5,6
Шешуі

8- м ы с а л Ойын сүйегі
Шешуі

9- м ы с а л Қалтадағы 10
Шешуі

яғни 4 көк асық бар.

10- м ы с а л
Шешуі

11- м ы с а л
Шешуі

12- м ы с а л
Шешуі

13- м ы с а л
Шешуі

14- м ы с а л 15 күннің
Шешуі

15-мысал 9 қабатты мекеменің 5-қабатынан лифтке 3 қызметкер
Шешуі Мұнда -ке тең, себебі жолаушылардың түсуі
.

16-мысал Бес карточкаға бір-бірден а,й,қ,с,ы әріптері жазылып, келесі бетімен
Шешуі Барлық мүмкін нәтижелер саны 5 элементтен тұратын жиынның
.

Ал бізге қолайлы нәтижелер саны біреу ғана:
.

17-мысал Сыныптағы ағылшын тілін оқитын бір топта 12 оқушы
Шешуі Барлық мүмкін жағдайлар саны 12-ден 12 бойынша алынған
.

18-мысал Қорапта қолғаптардың 10 түрлі парлары бар. Қораптан
Шешуі 20 қолғаптың ішінен төртеуін
.

19-мысал Конверттегі 100 фотосуреттің ішінен бізге қажеттісі біреу
Шешуі 100 суреттің ішінен 10 суретті
.

Қайталамалы тізбекті таңдау. Бұл әр қадам сайын алынған шар
Тиынды тастау және кубикті тастауды қайталамалы таңдау ретінде қарастыруға
тиынды N рет тастау (немесе бір мезгілде N тиынды
кубикті N рет тастау (немесе бір мезгілде N кубикті
Қайтарусыз тізбектеп таңдау. Енді бір рет алынған шар урнаға
Бір мезгілде таңдау. Шарлар урнадан бір мезгілде алынады, сондықтан
Сұрақтар мен тапсырмалар

1 Автомобиль номерінде қатарынан әріп, 3 цифр және
2 Егер барлық номерлерді лексикографиялық ретпен жазатын болсақ,
3 Автомобильде 5 орын бар. Егер 5
4 Хоккей ойынынан соң бір команданың әрбір ойыншысы
5 Бір тордан екіншісіне: а) ладья б) пілмен
6 5 адам кассаға қанша тәсілмен кезекке тұра
7 Ресейдің футбол чемпионатында 16 команда қатысуда. Үш
8 100! саны аяқталатын нольдер санын табыңыз,

9 а) 1,2,3,4; б) 1,2,3,3; в) 1,1,2,2; цифрлары
10 25 оқушы оқитын сыныптан екі кезекшіні қанша
11 «Суперлото» лотореясынан қанша тәсілмен 36-дан 5 номерді
12 Терулердің орналастырулардан айырмашылығы неде екенін түсіндіріңіздер? Қайсысы
13 Подъезд құлпы 10 батырмадан тұрады және белгілі бір
14 20 туристен тұратын топты үш бағытта: біріншісіне
15 25 оқушы оқитын Наташаның сыныбынан жеребе бойынша
16 Бір мезгілде 3 кубик тасталады. а) барлық
17 36 картадан тұратын колоданы екі адамға таратты.
18 20 оқушыдан тұратын топты жеребе бойынша көрші
19 Тиынды қатарынан 100 рет тастағанда цифр бетінің түсу
Әдістемелік ескертулер

Комбинаториканың мектептегі сәтсіздіктерінің басты себебі – бірінші қадамнан комбинацияларды
Қарапайым комбинацияларды қарастыруды алдыңғы дәрісте қарастырдық, онда бірнеше объектілер
Алдында қарастырылған классикалық ықтималдық есебін шығару схемасына ұқсас жұмыс
1 Комбинациялардағы элементтерге белгілеулер ойлап табу (егер бұлар сан
Бірінші және одан кейінгі комбинацияларды жазып алу.

Соңғы комбинацияны және оның алдындағы бірнеше комбинацияны жазып алу.

Кез келген комбинацияны жазып алып, тікелей оның алдындағы және
Жалпы жағдайда келесі комбинацияның ізделетін ережесін құру.

Бұл схемадағы үшінші қадамды топтың жарыс түрінде ұйымдастырған
Жоғарыда айтып өткеніміздей, комбинацияларды атап шығу үшін ағаштарды пайдалануға
Берілген тарауда комбинацияларды есептеудің негізгі ережелері: көбейту және қосу
Комбинацияларды атап шығу (перебирать) және олардың санын қосу және
Комбинациялардың негізгі типтерімен танысу алмастырудан басталады. Алмастыру санын есептеу
Барлық алмастыруларды атап шығу есебі анағұрлым күрделі. Оқушылар өз
Орналастырулар ауыстыру ұғымын жалпылайды. Ықтималдық есептерін шығару үшін олардың
Алмастыру және орналастыру санын есептеуде оқушылар алғаш рет факториалмен
Дәстүрлі қосу және көбейту ережелерімен қатар басқа тағы екі
Әрі қарай тарауда – ықтималдықты есептер үшін ең маңызды
Терулерді атап шыққанда олардың бір-бірінен тек құрамымен ерекшеленетіндігін ескеру
Тривиалды емес жолмен шешілетін және қызықты практикалық мазмұнды көптеген
Осы материал арқылы оқушылар оқып-үйренген комбинаторикалық ережелер мен формулалар
Келтірілген мысалдарда нәтижелері осыдан алдын қарастырылған комбинация типтері: алмастыру,
Тарау соңында осы талданған кездейсоқ тәжірибелердің модельдері (үлгілері) жалпыланады.
Математиканың осы үшін бай метериал бере алатын саласы –
2.5 Тақырыптың қазіргі мектеп математика оқулықтарында
Орта мектеп математикасының ең негізгі мәселелерінің бірі – жиын
Жиын ұғымы комбинаторикада және ықтималдықтар теориясының бастамаларында жиі қолданылады.
Орналастыру, алмастыру, теру ұғымдарын енгізу және бұлардың арасындағы қатыстарды
Әдістемелік ұсыныстар. Ұғымдарға мысалдар келтіріледі және солардың негізінде анықтама
1-мысал 1,2,3,4 цифрларынан (цифрлары қайталанбайтын) неше үш
Төрт цифрдан әр жолы үштен алып, жүздік, ондық, бірлік
Орналастыру Жалпы алғанда бір-біріне ұқсамайтын элементтен
Егер екі орналастыру ұқсас болса, онда осы екі орналастырудың
Мысалы сандары берілсін. Үш цифрдан алынған барлық
Осы кестедегі барлық орналастырулар саны: 24.

5-кесте

abc

adb

bca

cab

cda

dba abd

adc

bcd

cad

cdb

dbc acb

bac

bda

cba

dab

dca acd

bad

bdc

cbd

dac

dcb

Қарастырылған мысалда 4 элементтен үш-үштен алынған орналастырулар санын
Енді осындай мысалдарды жалпы түрде талдайық.

Мысалы санын табайық. Кітап қоятын екі
Енді осыған ұқсас орналастырулар санын есептесек,
Сол сияқты орналастыру санын табу үшін
Енді бір-біріне ұқсамайтын неше тәсілі бар екенін есептейміз. 1-кезеңде
Көбейту ережесі бойынша бос орынға таңдап
.

Мұндағы және орналастырулар
Осы формуланы қолданып, -ті есептесек,
Алмастыру Әр түрлі элементтен әрқайсысы
.

Орналастырулар санының формуласы:

;

Формула болғанда да дұрыс болуы үшін
1-мысал теңдігі дұрыс екенін
.

Бұл берілген теңдіктің дұрыстығын дәлеледейді.

2-мысал Вокзалда белгілі бір поездың қай жолға
Үш жалаушаның біреуі арқылы берілетін белгі саны
түрлі [11].

Теру

Теру ұғымы және оның орналастыру мен алмастыруға қатысты екенін
Әдістемелік ұсыныс Теруді анықтау үшін жиынындағы
Сонда 3 элементі бар жиыннан әрқайсысында 2 элемент болатын
Бұларға сүйеніп, терудің анықтамасы, белгілеуі берілген.
Бұдан соң оқулықты теру мен орналастыру арасындағы байланысты көрсету
Кестеден әрбір теруге 6 түрлі орналастыру сәйкес келеді.

Әр түрлі 4 элементтен 3-тен жасалған
,

бұл терулер санының формуласы деп аталады (мұндағы
1-мысал мәндерін есептейік [13].

2-мысал теңдігінің дұрыстығын дәлелдейік.

Дәлелдеуі теңдігінің оң жағын түрлендірейік:

Сонымен,

.

Комбинаторика элементтері

Іс жүзінде адамға заттардың өзара орналасуының барлық мүмкін жағдайларын
Футболдан әлем біріншілігінде жартылай финалға шыққан 4 команда арасында
Қосынды ережесі

жиынының элементтері санын арқылы белгілейді. Мынадай
Теорема 1 Кез келген элементтері бар
(1)

теңдігі орындалады.

Дәлелдеуі - қосындысы
теңдігі орындалады. Осыдан (1) формула шығады.

(1) формуланы математикалық индукция принципі бойынша бірнеше қосылғыштарға жазып
(2)

формуласы орындалады. Бұл формулада жиындардың тақ рет қиылысулары кездесетін
. (3)

1-мысал Сыныптағы 32 оқушының 14-і мектепте өткен футбол
Шешуі Көрнекілік үшін Эйлер-Венн диаграммаларын қолданайық (2-сурет). А-футболға;
(3) фомула бойынша сынытағы оқушылардың жарыстың
Жауабы 12 оқушы.

Салдар Егер Ø
Дәлелдеу Ø болғандықтан, . Онда
Көбейтінді ережесі

Алдымен мынадай мысал қарастырайық.

2-мысал Бірлестіктің директорлары кеңесінің мүшелері арасынан үшеуі кеңес
Шешуі Төрағалыққа үміткерлерді арқылы, ал орынбасарлыққа
6-кесте

Т

О Т1 Т2 Т3

О1 (Т1;О1) (Т2;О1) (Т3;О1)

О2 (Т1;О2) (Т2;О2) (Т3;О2)

Осыдан төраға мен оның орынбасарын түрлі
Осы мысалдан шығатын қорытынды жалпы жағдайға былай тұжырымдалады:

Теорема 2 Кез келген санаулы элементтері
(4)

Дәлелдеуі Айталық, жиындары берілсін
7-кесте

a

b a1 a2 ... ap

b1 (a1;b1) (a2;b1) … (ap;b1)

b2 (a1;b2) (a2;b2) … (ap;b2)

… … … … …

bk (a1;bk) (a2;bk) … (ap;bk)

Осы кестеден теңдігі орындалатынын көреміз.

Осы сияқты математикалық индукция принципін қолданып, санаулы элементтері бар
Қайталанбалы орналастырулар

Айталық, бізге бос емес Х жиыны берілсін. Осы жиынның
(5)

Мұндай кейбір элементтер қайталанып орналасуы мүмкін. (5) түрдегі әрбір
Анықтама Егер болса, Х жиынының
.
Дәлелдеу Шынында да, (5) шерудің әрбір орнында Х жиынының
Дәлелдеу керегі де осы.

3-мысал А және В пункттері 4-суретте көрсетілгендей екі
Шешуі Үш параллель көшелермен жоғарғы және төменгі
{ж,т} жиынының элементтерінен ұзындығы 4-ке тең қайталанбалы орналастырулар деп
4-мысал Құны әр түрлі 5 монетаны екі қалтаға
Шешуі Екі қалтаны оң және сол жақ қалталар
Қайталанбайтын орналастырулар. Алмастырулар

Х жиыны элементтен құралған жиын болсын.
(7)

немесе

( )

Шынында да, ұзындығы -ға тең шерудің бірінші
(7) және ( ) формулалары толық дәлелденеді.

Егер болса, онда қайталанбайтын орналастыруды
(8)

формуласы орындалады. Шынында да, болатынын ескерсек,
теңдігін аламыз.

5-мысал 4 оқушыны 7 орындыққа неше түрлі тәсілмен
Шешуі Мұнда Х жиыны 7 элементтен (орындықтардан)
6-мысал Бес адамды кезекке неше түрлі тәсілмен тұрғызуға
Шешуі Бізге қажетті сан 5 элементтен алынған барлық
7-мысал 7 оқушыны, бір қатарда орналасқан 7
Шешуі Мынадай белгілеулер енгізейік: арқылы
Қайталанбайтын терулер

Анықтама эементі бар Х
Теорема 3
формуласы орындалады. Мұнда санын теру коэффициенті
Дәлелдеу теңдігі орындалады. Шынында да, әрбір
8-мысал Шахмат турниріне 12 ойыншы қатысты және әрбір
Шешуі Әр партияны өткізуге екі ойыншы қатысады. Онда
9-мысал элементтен тұратын жиынның барлық
Шешуі Жиынның 1 элементтен тұратын ішкі жиындарының саны
.

Мұнда болатынын ескере отырып,
Осы формулада деп алып, .

Сонымен, элементті жиынның ішкі жиындарының саны
10-мысал 5-суретте көрсетілген «бүтін» нүктелер арқылы өтетін тор
дейін оңға не жоғары бағытта жылжу арқылы неше түрлі
Шешуі нүктесінен нүктесіне
Ескерту Бұл есептегі талдауды қайталай отырып,
Енді осы санының бірнеше қасиетін қарастырайық:

Дәлелдеу -қасиеттің дәлелдеуі (9) формуладан шығады.
Қорытынды

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігінің нұсқауларына сәйкес мектепте
Қазіргі қоғамымызда болып жатқан түбірлі өзгерістерге байланысты әрбір мұғалім
Қазіргі білім беру жүйесіндегі математика пәні мұғалімдерінің алдында тұрған
Осы мақсатта бұл дипломдық жұмысымызда жалпы білім беретін орта
Дипломдық жұмыста екі тарау қамтылды. Бірінші тарауда комбинаторика ұғымы,
Екінші тарауда 1-тараудың теориялық білімдерін пайдалана отырып, комбинаторика элементтерін
Қорыта келгенде, бұл жұмысымызда ұсынылған теориялық, әдістемелік мәселелер мен
Пайдаланылған әдебиеттер

Бектаев. Қ., Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика.- Алматы:
Жаңбырбаев Б.С., Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика
Матақаева Ғ, Ықтималдықтар теориясына арналған есептерді шешу.- Алматы: Қазақ,
Нұрпейісов С.А., Матыбалдиев О.С., М. Өтепбергенұлы, Ықтималдықтар теориясы
Қазешев. А.Қ., Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика.-Алматы, 2005

Меңліқожаева С. Орта мектепте ықтималдық-статистикалық білім берудің кейбір мәселелері.
Нұрсұлтанова Г. Математиканы тереңдетіп оқытатын мектептер үшін «Комбинаторика элементтері»
Нұрбекова Ж. Ықтималдық пен статистика элементтерін оқыту.
Қайыңбаев Ж. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтері.
Бунимович Е, Булычев В, Вероятность и статистика в
Шыныбеков. Ә. Н. 9-сынып «Алгебра».- Алматы «Атамұра», 2005

Әбілқасымова. И. Б., Бекбоев, А. Абдиев. А. 9-сынып «Алгебра»
Әбілқасымова.А.Е., Бекбоев.И.Б., Абдиев.А.А. «Әдістемелік нұсқау» 2005

Шәкілікова С. Ықтималдық – статистикалық түсініктерді қалыптастыру. //Информатика Физика
Сұранова Н. Қ., 7-9 сынып математика сабақтарындағы ықтималдық-статистика материалдарына
3

А

В

С

2-сурет

В

А

1-сурет

Б

Т1

Т2

О1

Т3

О1

О1