Математиканы тереңдетіп оқытудағы туындының алгебралық қолданылуы курстық жұмыс
Жоспар - www.topreferat.com.kz
Кіріспе
Негізгі бөлім
1. Анықталған интеграл ұғымы.
1.1 Анықталған интеграл анықтамасы.
1.2 Анықталған интегралдың қасиеттері.
2. Анықталған интегралды жуықтап есептеу.
2.1 Тіктөртбұрыш әдісі.
2.2 Симпсон әдісі.
3. Анықталған интеграл есептеудің сандық әдістеріне компьютерлік
бағдармаларды құру.
3.1 Трапеция әдісі.
3.2 Симпсон әдісі.
III. Қорытынды
Қолданылған әдебиеттер тізімі
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Жұмыс көлемі: 27 бет
Пәні: Соңғы қосылған курстық жұмыстар
-----------------------------------------------------------------------------------
КУРСТЫҚ ЖҰМЫСТЫҢ ҚЫСҚАРТЫЛҒАН МӘТІНІ
МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА ЖӘНЕ ТЕХНОЛОГИЯЛАР ФАКУЛЬТЕТІ
Математика кафедрасы
КУРСТЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: МАТЕМАТИКАНЫ ТЕРЕҢДЕТІП ОҚЫТУДАҒЫ ТУЫНДЫНЫҢ АЛГЕБРАЛЫҚ ҚОЛДАНЫЛУЫ
Жоспар
Кіріспе
Негізгі бөлім
1. Анықталған интеграл ұғымы.
1.1 Анықталған интеграл анықтамасы.
1.2 Анықталған интегралдың қасиеттері.
2. Анықталған интегралды жуықтап есептеу.
2.1 Тіктөртбұрыш әдісі.
2.2 Симпсон әдісі.
3. Анықталған интеграл есептеудің сандық әдістеріне компьютерлік
бағдармаларды құру.
3.1 Трапеция әдісі.
3.2 Симпсон әдісі.
III. Қорытынды
Қолданылған әдебиеттер тізімі
Кіріспе.
Интеграл (латынша integer - бүтін)-математиканың маңызды ұғымдарының бірі.
Әр түрлі физикалық, техникалық, экономикалық және тағы басқа
Жалпы жуықтап есептеу, соның ішінде интегралды жуықтап есептеу,
Анықталған интегралды есептеудің сандық әдістерін компьютерлік бағдармалар құрып
1.Анықталған интеграл ұғымы.
1.1 Анықталған интеграл анықтамасы.
Аныктама. [а,Ь] кесіндісінде у =f(х)
а) [а,b]кесіндісін кез-келген а=хонүктелерімен [х j.,хj+1]. і = 0,1,..., n -
(оны R бөліктеуі деп атайык);
б) Әрбір [х j.,хj+1] бөліктен кез-келген ξj ([х
нүктелерін алып, f функциясының R – бөліктеуіне сәйкес
SR(f)=
қосындыны құрамыз;
в) → 0 ұмтьлдырып интегралдық қосындьның
Егер бұл шек бар болса, онда ол f
[а,Ь] кесіндісіндегі анықталған интегралы деп аталады да
(aтүрінде белгіленеді. Мұндағы а
деп аталады.
Егер f фунщиясы [а,b] кесіндісінде узіліссіз болса, онда
Анықталған интегралды оның анықтамасы арқылы есептеу
= Ғ(b)-Ғ(а)
тендік орындалады.
1.2. Анықталған интегралдардың касиеттері
1°. Егер (х([а,Ь], f(х)( 1
(3)
Шынында да, [a,b]
2°. Егер [a,b] кесіндісінде f және g интегралданатын
(4)
Кез-келген R бөліктеуі үшін
тендігі орындалады. Бұдан
шекке өтсек, (4) теңдікті аламыз. (4) теңдіктің b
Дербес жагдайда, b = 0 болса, онда
(5)
ал А =1, B = 1 болса, онда
(6)
Ескерту. Егер f(х), g(х) функциялары кесіндісінде интегралданатын болса,
Анықтама бойынша, а нүктесінде берілген кез-келген функциясы
(7)
ал [а,b] кесіндісінде интегралданатын f
(8)
деп аламыз. Бұл теңдіктер геометриялық тұрғыдан оңай көрініп
орындалады (b (хj = Хj+1 - X j3°.(анықталган интегралдың аддитивтік қасиеті). Егер кез-келген а,b,с сандары
(9)
теңдігі орындалады.
1) а R: а = хоОсы R бөліктеуінен [а,с] мен [с,b] кесінділерінің
R1: а = хоR2: с = хтбөліктеулері пайда болады.
Олай болса,
Бұдан
теңдігін жаза аламыз.
30 қасиеттің шарты бойынша бұл үш шектің үшеуі
2) а, ал бұдан (8) теңдікті ескеріп,
аламыз.
Ескерту. 30 касиеттің
1-теорема. Кесіндінің бір нүктесінен басқа нүктелерінде нөлге тең
(10)
функциясы үшін
(11)
[a,b] кесіндісіне кез-келген R бөліктеуін жасайық
R: а = х0 с нүктесі осы бөліктердің біреуінің, айталық [хт,,хт+1] бөлігінің
(x([a,b] нүктелері үшін ((с(x)(((A( болатындықтан,
+((c((m )((xm((A(*((xm-1+(xm)((A(*0,
яғни (11) теңдік орындалады.
2-теорема. Егер [а,b] кесіндісінде интегралданатын f функциясының с([а,b]
тендігі орындалады..
f функциясын жалғыз с нүктесінде өзгерту, оған (c(x)
.
Олай болса, осы тендіктен (6) және
Бұл теоремадан ( функциясының интегралдануы оның белгілі бір
40. Егер [а,Ь] кесіндісінде (,
теңсіздігі орындалса, онда
, а(b.
Кез-келген R бөліктеуі үшін (хj ( 0 екенін
аламыз. Бүл теіңсіздіктен mах (хj —>
Дербес жагдайда, егер f теріс емес, [а,Ь]
интегралданатын функция болса, онда, , а(b,
,а(b. (13)
5°. Егер f,
( (.
(х([а,Ь] нүктелері үшін -(((х)((((х) ((((х)(
теңсіздіктері орындалатыны айқын. Бүдан (12) және (5) қатыстарды
, а(b, немесе , а
, а в, аламыз.
Егер а>в болса, онда осы соңғы теңсіздікпен
аламыз.
Дәлелдеу барысында алынған
, а в.
теңсіздігі математикада жиі пайдаланылады.
Ескерту. Егер f функциясы [а,в] кесіндісінде интегралданса, онда
3-теорема. ( функциясы кесіндісінде интегралданатын
, атеңсіздігі орындалады.
2. Анықталған интегралдарды жуықтап есептеу.
Жуықтап интегралдау әдісі кез-келген үзіліссіз (функцияның анықталған
Қарастырылатын жуық сандық әдістер мынаған негізделген: интеграл мәнін
2.1. Тік төртбұрыштардың және трапециялардың квадратуралық формулалары.
(х( .
Ал х0,х1,...,хn нүктелеріне сәйкес келетін f(x) фунуциясының
(1-сурет). Онда =y0(x+y1(x+...+уn-1(x.
қосындылары ((х) функциясының (а,b( кесіндісіндегі интегралдық қосынды болады
, (1)
,
(1) мен (2) теңдіктері тік төртбұрыштардың квадратуралық формулалары
Жуықтап есептеу нәтижесі дәлірек болуы үшін бөлікше аралықтар
адымын кішірек етіп алу керек.
(а,b( кесіндісін бөліктеуді сол күйінде қалдырамыз, бірақ у=f(x)
1-сурет
Алынған әрбір тік төртбұрышты трапеция ауданы
, i=0,1,...,n-1, болғандықтан
немесе . (3)
(3) жуық теңдік трапециялардың квадратуралық формуласы деп
Егер функция ((х)(Ах+В – сызықтық болса, онда (1)-(3)
Егер ( функциясының
((/(х)((М1
теңсіздігін қанағаттандыратын құрақты–тегіс (/ туындысы бар болса, онда
,
және трапециялар формуласының формуласының қалдық мүшесі
үшін
(5)
теңсіздігі орындалады.
Мұндағы константаларды азайта алмаймыз, олар дәл есептелген..
[а.Ь] кссіндісінде екінші туындысы
шенелген функшялар класы үшін тік төртбүрыштар мен трапециялар
(6)
теңсіздігін қанағаттандырады, яғни мұнда (1)-(3) формулалар арқылы жуыктау
Ал шенелген үшінші, төртінші т.с.с. жоғарғы туындылары бар
құбылыс (1)-(3)
Енді (5) теңсіздіктің дәлелдеуін келтірейік.
Сонымен, f(x) функциясының
h= ,
[a,b]= ,
болады да
Бүған Лагранж теоремасын
аламыз.
2.2. Симпсон формуласы. [а,b] кесіндісін саны жұп п
өтетін осі Оу -ке параллель у=Ах2+Вх+С екінші дәрежелі
3-сурет
Мұндағы А,В,С коэффициенттері параболаның берілген үш нүкте
арқылы өту шартынан табылады. Осылай алынған параболалық трапециялардың
Лемма. у= Ах2 + Вх + С -
к=0,1,...,n-2
мұнда h=xk+1-xk, k=0,1,…,n-1.
Алдымен, қисық сызықты трапеция табаны [xk,xk+2] координата бас
Сонымен, х0=-h, x1=0, x2=h (4-сурст).
Онда
х0=h болғанда
x1=0 болғанда
x2=h болғанда
Бұл теңдеулер жүйесінің анықтауышы
болғандықтан, оның жалғыз (А,В,С) шешімі бар.
Енді параболалық трапеция
интеграл арқылы есептейік:
Егср (8) теңдіктегі у0+4у1+у2 қосындысын есептесек, ол 2Ah2+6C
яғни (7) теңдік к(0 үшін дұрыс.
Бұл формула табаны [хк,хк+2], хк-2-хк=2h болатын кез-келген параболалық
Енді өзіміздің бастапқы негізгі есебімізге оралсақ (3-сурет) (7)
немесе
(9)
аламыз.
(9) жуық теңдік Симпсон формуласы деп аталады. Егер
((//(х)((М2
теңсіздігін қанағаттандыратын екінші үзіліссіз туындысы бар болса. онда
(10 )
ал оның (а,в( кесіндісінде
((ІV(х)((М4
теңсіздігін қанағаттандыратын төртінші ретті үзіліссіз туындысы бар болса,
(11)
Назар аударыңыз. Егер біз трапеция формуласын қолдансақ онда
Мысал. интегралын жуықтап есептеу
Бүл интеграл элементар
Осы нүктелердегі ((х) = функциясының мәнерін
((0) = 1, ((0.1) = 1,00005,
(0.4) = 1,01272, ((0,5) = 1,03078. ((0,6) =
((0,8) = 1,18727, ((0,9) = 1,28690, ((1) =
табамыз.
Трапециялардың квадратуралық формуласы бойынша ((3) формула)
аламыз.
функциясының [0,1] кесіндісінде кез келген үзіліссіз туындысы бар.
жоқ.Сонымен
және М2= . Демек, трапеция формуласының қалдық
яғни
Тік бұрыштар, трапециялар және Симпсон формулаларын қолданып
Шешу. 1) Әуелі интегралдың жуық мәнін тік бұрыштар
(1)
немесе
(2)
бойынша табайық.
[0,1] аралығын нүктелер х0=0; х1=0,1; х2=0,2; …,х9=0,9, х10=1-лермен
. Функция -тің осы нүктелердегі мәндерін
Бұл мәндерді сәйкесінше у0, у1, у2,..., у10 деп
у5=0,667; у6=0,625; у7=0,588; у8=0,556; у9=0,526; у10=0,500. (1) және
немесе
Мұнан бұл мәндердің дәл мәннен айырмасы 0,03 тең
2) Сол интегралдың жуық мәнән трапециялар формуласы
бойынша табайық.
Бірінші жағдайдағыдай мұнда да (0,1( аралығын (*) нүктелерімен
Мұнда тек үш таңба ғана дұрыс, ал алынған
3) Енді сол интегралдың жуық мәнін Сипсонның
формуласы (мұндағы n жұп сан) бойынша табалық.
Бұл жағдайда (0,1( аралығын тең төрт бөлікке
нүктелерімен бөліктейміз. Оларға сәйкес ординаталарды үтірден кейін төрт
Бұдан үш таңбаның дұрыстығын және шыққан нәтиженің дәл
3. Анықталған интегралды есептеудің сандық әдістеріне компьютерлік бағдарлама
Ғылыми-техникалық есептерде, түріндегі
3.1 Трапеция әдісі.
Анықталған интегралдың мәнін есептеу
z= -ге дейінгі дәлдікпен.
Есептеудің қажет болған дәлдігін табу үшін трапеция әдісінде
S1=h =h( + )
Осыдан кейін S2 ауданының мәні есептеледі. Оның қадамы
Ішкі циклде S2 суммасы есептеледі. Сыртқы циклде
3.2. Симпсон әдісі.
Интегралданудың [а,в] қиығын тең 2n бөліктерге h=
(у0+4у1+2у2+...+4у2n-1+y2n)= (yn+y2n+ , N=2n белгілесек,
Трапеция әдісіне іспеттес Симпсон әдісі құрастырылады келесі өзгертулермен.
МЫСАЛДАР:
PROGRAM ESEP_1;
VAR A,B,X,Y1,Y2,H,S1,S2,EPS:REAL;
N, I :INTEGER;
BEGIN
WRITELN (‘ENGIZ N, A, B, EPS');
READ (A,B,N,EPS);
S1:=0; Y1:=(SQR(LN(A)))/A;
Y2:=(SQR(LN(B)))/B;
S2:=(Y1+Y2)*2; H:=(B-A)/N;
FOR I:=1 TO N-1 DO
X:=A+I*N;
S2:=S2*H;
IF ABS(S1-S2)>=EPS THEN S1:=S2;N:=N*2;
WRITELN ('INTEGRAL MANI S2=',S2:4:2);
END.
ENGIZ N, A, B, EPS
4
2
0.001
INTEGRAL MANI S2= -0.48
PROGRAM ESEP2;
VAR A,B,K,X,Z1,Z2,Z3:REAL;
DELTA,DX,ZT,EPS:REAL;
N,I:INTEGER;
BEGIN
WRITELN ('ENGIZ A,B,EPS');
READ (A,B,EPS);
N:=5;Z1:=0;
Z3:=(SQR(SIN(A))/(1+2*K*COS(A)+K*K)+SQR(SIN(B))/(1+2*K*COS(B)+K*K))/2;
REPEAT
Z2:=Z3; DX:=(B-A)/N;X:=A;
FOR I:=1 TO N-1 DO
BEGIN
X:=X+DX;
Z2:=Z2+SQR(SIN(X))/(1+2*K*COS(X)+K*K);
END;
Z2:=Z2*DX;
DELTA:=ABS(Z2-Z1); Z1:=Z2;
N:=N*2;
UNTIL DELTA
END.
ENGIZ A, B, EPS
1
2
0.001
INTEGRAL MANI Z2=0.92
Қорытынды
“Анықталған интеграл есептеудің сандық әдістері” тақырыбын таңдау себебім
Мен бұл курстық жұмыста интегралды жуықтап есептеудің үш
Анықталған интегралды есептеудің сандық әдісі компьютерлік бағдарлама құру
Қолданылған әдебиеттер тізімі
1.Айдос Е.Ж. «Жоғарғы математика»
Алматы, «Иль-Тех-Кітап»,2003 жыл.
2. Есмұқанов М. «Математикалық анализ курсы»
Алматы, «Білім», 1995 жыл.
3. Темірғалиев Н. «Математикалық анализ»
2-ші бөлім, Алматы, «Ана тілі»,1991 жыл.
4.Қ. Қабдықайыр «Жоғары математика»
Алматы, «Қазақ университеті»,2004жыл.
5.Г.И. Светозарова, А.А, Мельников, А.И. Козловский
«Практикум по программированию на языке Бейсик»
Москва, «Наука», 1988жыл.
2
