Реттік статистика диплом жұмысы
Мазмұны - www.topreferat.com.kz
Кіріспе..............4
І Тарау
§1.Реттік статистика.............5
1.1Реттік статистика ұғымы............5
1.2Материал қамту кеңдігі..............7
1.3Белгілеулер..................9
II Тарау
§2.Реттік статистикалардың үлестірім теориясының негіздері.........13
2.1Реттік статистикалар үлестірімі..............13
2.2Реттік статистикалардың екі немесе одан көп сандардың ортақ үлестірімі................15
2.3Құлаштың және басқа жүйелі статистикалардың үлестірімдері.........17
2.4Дискретті үлестірім үшін реттік статистикалар............20
2.5Квантиль үшін параметрсіз сенімділік интервалдар.....21
2.6Толерантты параметрсіз интервалдар............25
2.7Тәуелсіздікпен байланысты нәтижелер – Марков тізбесі секілді реттік статистикалар.................27
ІІІ Тарау
§3Реттік статистикалардың моменттері.........32
3.1Негізгі формулалар...........32
3.2Қалыпты үлестірім...........39
3.3Дискретті жағдай..............44
3.4.Рекурренттік қатынастар................47
Қорытынды..................51
Қолданылған әдебиеттер тізімі..........52
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Жұмыс көлемі: 55 бет
Пәні: Соңғы қосылған дипломдық жұмыстар
-----------------------------------------------------------------------------------
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫСТЫҢ ҚЫСҚАРТЫЛҒАН МӘТІНІ
Дипломдық жұмыс 3 тарудан жалпы алғанда 52 беттен
Дипломдық жұмыста реттік статистикалардың қолданылымдары, үлестірімдері және үлестірімдерін
Дипломдық жұмыстың мақсаты – реттік статистикалардың үлестірімдерімен, қолданылымдарымен
Мазмұны
Кіріспе..............................................................................................................................4
І Тарау
§1.Реттік статистика.....................................................................................................5
1.1Реттік статистика ұғымы............................................................................................5
1.2Материал қамту кеңдігі..............................................................................................7
1.3Белгілеулер..................................................................................................................9
II Тарау
§2.Реттік статистикалардың үлестірім теориясының негіздері.........................13
2.1Реттік статистикалар үлестірімі..............................................................................13
2.2Реттік статистикалардың екі немесе одан көп сандардың ортақ
2.3Құлаштың және басқа жүйелі статистикалардың үлестірімдері.........................17
2.4Дискретті үлестірім үшін реттік статистикалар....................................................20
2.5Квантиль үшін параметрсіз сенімділік интервалдар.............................................21
2.6Толерантты параметрсіз интервалдар....................................................................25
2.7Тәуелсіздікпен байланысты нәтижелер – Марков тізбесі секілді реттік
ІІІ Тарау
§3Реттік статистикалардың моменттері.................................................................32
3.1Негізгі формулалар...................................................................................................32
3.2Қалыпты үлестірім...................................................................................................39
3.3Дискретті жағдай......................................................................................................44
3.4.Рекурренттік қатынастар........................................................................................47
Қорытынды..................................................................................................................51
Қолданылған әдебиеттер тізімі..................................................................................52
Кіріспе
Дипломдық жұмыстың мақсаты – реттік статистикалардың үлестірімдерімен, қолданылымдарымен
Бұл дипломдық жұмыста реттік статистикалардың қолданылымдары, үлестірімдері және
Бұл жұмыста біз реттік статистикаларға байланысты есептерді көптеген
Алғашқы параграфта реттік статистика пәні ұғымы енгізіліп, оның
Екінші тарауда реттік статистикалардың үлестірімдері, дискретті жағдай
Үшінші тарауда біз реттік статистикалардың әр түрлі
І Тарау
§1.Реттік статистика
1.1 Реттік статистика ұғымы
Егер , кездейсоқ шамалары мағыналары бойынша
өсу ретімен орналасса, онда – ді
Реттік статистика пәні осы реттелген кездейсоқ шамалардың
Қалыпты жағдайда лайықты k таңдауында нәтижелілік жоғалтуы лақтыруларға
§1.2 Материал қамту кеңдігі
Жоғарыда айтылған барлық сұрақтарға көңіл бөлсек те, реттік
Қалған шектеулер кітапта көбінесе жеке мінезде болады. Реттік
9 тарауға қарағанда көбірек жасалған асимптоталық әдістер туралы
Реттік статистикалардың техникасын нәтижелі пайдалану көп таблицаларды талап
§1.3Белгілеулер
Бұл параграф сілтемелер үшін қызмет етсе де, оқырман
Х1, Х2,..., Хn – ретсіз шамалар;
х1, х2,..., хn – ретсіз бақылаулар;
{ – реттелген шамалар;
– реттелген шамалар- жазудың толық түрі.
Таңдама көлемін көрсету үшін, нақты қысқа үлгіден жеткілікті
Р(х) = Р(Х ≤ х) – Х кездейсоқ
Р(х):
1) үзіліссіз кездейсоқ шама үшін үлестірім тығыздығы;
2) дискретті кездейсоқ шама үшін ықтималдық функциясы;
Fr(x), Fr:n(x) – Xr, Xr:n, r = 1,2,…,n
fr(x), fr:n(x) – xr, xr:n кездейсоқ шамасының ықтималдық
Frs(x,y) = P( X(r)≤x, X(s)≤y ) – және
f rs(x,y) - X(r) және X(s)
ξp – үлестірім үшін p ретінің квантилі, яғни
ξ1/2 – үлестірім медианасы;
X([np]+1) – p ретінің таңдамалы квантилі, бұл жерде
X([nλl]+1 – λl ретінің таңдамалы квантилі, 0 Бірақ таңдамалы медиана бұл:
X(n+1)/2 , егер n жұп болса;
(X(n/2) + X(n/2 +1)) , егер n тақ
Ары қарай,
W, Wn = X(n) – X(1) – (таңдамалы)
W(i) = Xn-i+1) – X(i) – i-ші квазиқұлаш
W, Wn,k – к құлаштың орташасы;
jW – j – ші таңдаманың құлашы;
Wrs = X(s) – X(r) ;
µ = EX, δ2 = DX – Х
=Dx, Dy – X және Y
σху =cov(x,y),ρ = – X,Y
µr:n = EXr:n – Xr:n кездейсоқ шамасының математикалық
– Xr:n кездейсоқ шамасының к-шы ретті моменті;
µrs:n = EXr:nXs:n
= DXr:n; σrs:n = cov(Xr:n, Xs:n);
Q(x) = P-1(x) – P үлестірім функциясына кері
Рr = r/(n+1), qr = 1 – pr;
Qr = Q(pr), fr = p(Qr);
= ;
Sν – еркіндік дәрежесі ν болатын σ үшін
Qn,ν = Wn/Sν – стьюденттелген құлаш (Wn және
S = [Σ(Xi – X)2/(n – 1)]1/2 –
S(p) = {[(n -1)S2 + νS2ν] / (n
jS – j – ші таңдама үшін S–ң
B(a,b) = бета – функция;
Ip(a,b) = толық емес бета
B(a,b) – бета үлестірімі бар Х кездейсоқ шамасы
- еркіндік дәрежесі ν болатын хи-квадрат үлестірімі Х
φ(х) = (2π)-1/2 – стандартты қалыпты
∞∞;
N(µ, σ2) - µ математикалық күтім және σ2
N(µ, Σ) - µ математикалық күтім векторы мен
n(k) = n(n-1) … (n-k+1), k = 1,2,
[x] – x – тің бүтін бөлігі (бірақ
X ~ N(µ, σ2) - µ математикалық күтім
Ү.т(ф.п) – үлестірім тығыздығы;
Ү.ф(ф.р) – үлестірім функциясы;
Н.к.о – оценки наименьших квадратов(аз квадраттардың бағасы);
РНМ – равномерно наиболее мощный( біркелкі ең мықты);
ПХ – Пирсон және Хартли (1961) –
СГ – Сархан және Гринберг (1970) – реттік
П.5.3 – 5.3.Қ – §5.3 – на қатысты
С.в – к.ш – кездейсоқ шама.
ІІ Тарау
Үлестірім теориясының негізі
§2.1 Реттік статистикалар үлестірімі
– ортақ үлестірім функциясы бар n тәуелсіз кездейсоқ
Fn(x) = P{X(n) ≤ x} = P{барлық Хі
Бұған ұқсас мына формуланы аламыз:
F1(x) = P{X(1) ≤ x} = 1 –
Бұл формулалар Fr(x) – қа арналған келесі жалпы
Fr(x) = P{X(r) ≤ x} = P{ең болмағанда
(x) ,
Бұл суммалардың оң жақ бөлігіндегі і – ші
Fr(x) = Ep(x)(n,r)
E функциясы көптеген деректерде кестеленгенін байқаймыз(мысалы, E(n,r,
Fr(x) = Ip(x)(r, n – r + 1)
шығады, мұндағы Ip(a,b) (1.3.1) – де анықталған. Олай
“16 Биометрикалық таблицалар” таблицасынан (Пирсон және Хартли (1966))
Мысал 2.1
Стандартты қалыпты үлестірімнен таңдама көлемі 5 болатын X(4)
5 пайыздық нүктені табайық.
Ip(x)(4,2) = 0,95
немесе
I1-p(x)(2,4) = 0,05
арақатынасын қанағаттандыратын х – ті іздеп жатырмыз. Соңғы
1 – P(x) = 0,7644 шығады. Сол себепті
(2.1.1) – (2.1.5) формулалары үзіліссіз және де дискретті
Fr(x) =
Бұл формула маңыздылығы үшін біз оны басқа әдіспен
r - 1 1
x
x + δx
Xi ≤ x Xi шамасының ішінен
Xi екеуінің бірі үшін және
n бақылауларды мынадай 3 топқа бөлу әдістерінің саны
Және олардың әрқайсысында мынадай ықтималдық болады:
Pr-1(x)[P(x + δx) – P(x)][1 – P(x +
Сондықтан, δх - ті аз деп есептеп, мынаны
P{x ≤ x + δx} =
Мұндағы O(δx2) - (δx2) ретінің мүшесін білдіреді және
§2.2 Реттік статистикалардың екі немесе көп сандардың ортақ
үлестірімі
X(r) және X(s) - ң ортақ тығыздығын
r - 1 s –
x x + δx
y + δy
Бұл барлық бақылаулардың ішінде (r - 1) x
Frs(x,y) = Pr-1(x)p(x)[P(y) – P(x)]s-r-1p(y)[1
Енді (2.2.1) үшін жалпылау қалай көрінетіні түсінікті.
x1≤x2≤xk үшін мына түрде болады:
хPr-1(x1)p(x1)[p(x2)–p(x1) p(x2)…[1–P(xk) p(xk)
Егер x0 = ∞, xk+1 = +∞, r0
n![
Сонымен қатар барлық n реттік статистикалардың ортақ үлестірім
n! p(x1)p(x2) … p(xn).
xi мағыналарын ретке келтірудің n! тең ықтималды тәсілдері
X(r) және X(s) Frs(x,y) ортақ үлестірім функциясы
Frs(x,y) = P{ ең болмағанда Xi шамасынан r
Бұл теңсіздіктерде егер i Fr.s(x,y)= *Pi(x)[P(y)–P(x)]j * [1–P(y)]n-i-j
x үшін X(s) ≤ y теңсіздігінен X(r)
§2.3 Құлаштың және басқа жүйелі статистикалардың үлестірімдері
k реттік статистикалардың ортақ үлестірім тығыздығын біле, біз
F(wrs)=Crs (x)p(x)[P(x+wrs)–P(x)]s-r-1*p(x+wrs)[1–P(x+wrs)]n-sdx
Wrs W құлашы болатын r =1, s
f(w) = n(n – 1) [P(x +
W шамасының үлестірім функциясының тағы бұдан қарапайым түрі
F(w) = n n-2dw’dx =
= n n-1
np(x)dx[P(x + w) – P(x)]n-1 - тең
(2.3.1) – (2.3.3) формулаларын пайдаланғанда, х өзгеру облысы
Мысал.2.3.
Келесі жағдайда реттік статистикалардың үлестірімін және Wrs
p(x) – теңөлшемді үлестірімдердің тығыздығы: p(x) = 1
p(x) = 0
(2.1.6) – дан дереу мынаны аламыз:
fr(x) =
Олай болса, (1.3.2) анықтамаға сәйкес, Xr бета β(r,
frs(x,y) =
x үшін p(x + wrs) =
f(wrs) = Crs
x = y(1 – wrs) – ті қойып,
f(wrs) = Crs
Бета үлестірімі бар s және
Құлаштан басқа қарапайым жүйелі статистикалар назарға алынады: квазиқұлаштар
§2.4 Дискретті үлестірім үшін реттік статистикалар
Егер p(x) x = 0,1,2,… нүктелерінде топталса(жинақталса), онда
fr(x) = P{X(r) = x} қоямыз. Соңғы функция
fr(x) = Fr(x) – Fr(x-1) = Ep(x)(n,r) –
(2.4.1) frs(x,y) = Frs(x,y) – Frs(x-1,y) – Frs(x,y-1)
болғандықтан, frs(x,y) екі өлшемді ықтималдықты функция үшін теңдік
Есептеу тұрғысынан қарағанда бұл теңдік ыңғайлы көрінгенмен, Кхатриге(1962)
Бізді (2.2.1)-ге алып келген пікірлердің көмегімен, үшін келтірілген
Мұнда - барлық теріс емес
Crs = n!/[(r – 1)!(s – r –
Қосынды және интеграл белгілерінің орындарын ауыстыра отырып және
ϑ = P(y) – z’P(y), w = P(x-1)+zP(x)
.
Егер x=y болса, онда ұқсас мынанаы аламыз:
(2.4.3)
Мұнда интегралдау облысы P(x-1) ≤ w
(2.4.2) – де w ϑ
(2.4.4)
Мұнда интегралдау w ϑ облысы
P(у-1) ≤ ϑ ≤ P(у)
§2.5 Квантиль үшін параметрсіз сенімділік интервалдар.
Х – қатаң өспелі Р(х) – үлестірім функциясының
ξ1/2 – үлестірім медианасы. Егер р(х) қатаң өспелі
Х дискретті кездейсоқ шамасы үшін
P{X
Бұл арақатынас р – ны жалғыз
P{ X(r) ξp} = P{ X(r)
немесе
P{ X(r) ξp X(s)} =
Үзіліссіз жағдайда (X(r), X(s))
теңдігіне тең болатын ықтималдықпен жабатыны
Бұл Томпсон(1936) бойынша алынған нәтижеге ұқсас, бізге міндеттелген
Дискретті жағдайда P{ X(r) ξp} p
P{ X(r) ξp} (r, n-r+1),
Сол себепті (2.5.3) – тен мына теңсіздік алынып
P{ X(r) ξp X(s)}
Аналогтық ой жүгіртулердің(пайымдаулардың) көмегімен
P{ X(r) ξp X(s)}
(2.5.6) және (2.5.7) теңсіздіктерінің сол жақ бөліктері Р(х)
Егер n және p бекітілген болса, онда сенімділік
= 2 ) – 1 =
Медиана үшін сенімділік интервалдар белгілердің критерийлерімен тығыз байланысты
Егер таңдамалы медиананың сол және оң жағынан
Мысал 2.5.
n = 100 үшін α = 0,05 бұл
Егер p(x) симметриялы және үзіліссіз екені белгілі болса,
. Бұл интервалдар белгілердің рангтік критерийлерімен тығыз байланысты
X(s) – X(r) реттік статистикаларының арасындағы айырымды ξq
Енді
P{ X(s) - X(r) ξq
P{ X(ϑ) - X(u) ξq
(Чу(1957)); 2.5.5 жаттығумен салыстыр).
Дәлелдеуі:
P{ X(s) - X(r) ξq
= P{ X(r) ξp} (n,
Осылай (2.5.9) теңсіздігі дәлелденеді.
Кез – келген үшін ең
L және
орындалатынын жеткілікті үлкен n үшін көрсету оңай. Сәйкес
X(ν) – X(u) aйырымдары ξq – ξp үшін
,
ξp үшін сенімді интервалдардың жүйелі процедураларының құрылуын Фаррел(1966)
§ 2.6 Толерантты параметрсіз интервалдар
Сенімді интервалдар секілді, толерантты интервалдардың да кездейсоқ соңы(аяқталуы,
P{
(2.6.1) – дің сол жақ бөлігін р(х) –
L = X(r), V = X(s) (s
(2.6.2)
Бірақ ықтималдықты интегралды өзгеріс u = P(x) ретті
X(1), X(2),…, X(n) – ді U(1),U(2),…,Un) –
(i = 1,2,…,n), енді – реттік статистикалар
P{Wrs } = 1 -
Жалпы жағдайда (2.6.1) теңдігі дәл орындалмайтыны айқын, бірақ
Онда r немесе s шамаларының біреуінің көмегімен P{Wrs
Мысал 2.6.
r = 1, s = n үшін (2.6.1)
1 –
немесе
,
яғни
Бұл есепті сандық жағынан n – ге қатысты
Жалпы жағдайда пайдалы кестелер Мерфи(1948) және Сомервилл(1958) бойынша
Сондай – ақ, §2.5 – гі сияқты (Шеффе
Көпөлшемді үлестірімдер үшін параметрсіз толерантты облыстардың қызықты жалпылаулары(қорытындылары),
§2.7 Тәуелсіздікпен байланысты нәтижелер – Марков тізбесі секілді
үлестірім тығыздығы
(2.7.1)
болатын экспоненциалды үлестірімнен алынған n таңдама көлемі үшін
Соңғы теңдікті мына түрде жазуға болады:
тең, мұнда мұнда (Сукхатлив).
(2.7.2)
қойып, шамаларының әрқайсысы
Барлық заттың(нәрсенің) өмір сүру уақыты
(2.7.2) – ді мына
(2.7.3)
яғни, тәуелсіз экспоненциалды шамалардың сызықты функциясы ретінде көрсетуге
шарты – үлестірімі жалғыз
Енді қатаң өспелі P(x) үлестірім функциясы бар үзіліссіз
теңдігімен анықталған параграф басында
(2.7.4)
Енді
]},
жазуға болады, мұнда Марков тізбесін
Теорема 2.7
Үзіліссіз үлестірімнен алынған n кездейсоқ таңдама көлемі үшін
(s > r) шарты бойынша алынған X(s) шамасының
(s – r) – ші реттік статистиканың үлестірімімен
(2.7.4) – тен
(2.7.5)
(r = 1, 2, … , n; U(n+1)
- өзара тәуелсіз R(0,1) теңөлшемді шамалар екендігі шығады.
Тәуелсіздікпен байланысты, басқа нәтижелер тобын қалыпты үлестірім үшін
(j = 1, 2, …, n) түрінде жазуға
Характеризация. (2.7.2) – дегі Yr (r = 1,
Реттік статистикалардың қасиеттерімен әр түрлі үлестірімдердің характеризациясын талдау
EX(n) = EY(n) табылады.
ІІІ тарау
§3.Реттік статистикалардың моменттері
3.1 Негізгі формулалар
Бұл тарауда біз статистиканың моменттерін, көбіне математикалық күтім,
Реттік статистикада қарастырылып жатқан математикалық күтім, дисперсия және
Кейде бізге белгілеулерде таңдама көлемін белгілеп қойған ыңғайлы.
Μr:n =
0 ≤ P(x) ≤1 болғандықтан, | Μr:n| ≤n
Μr:n =
мұндағы - P(x) – қа
EX =
орташасы u = 0 немесе 1 нүктелерінде
Осы секілді E[g(X)] – ң бар болуынан, E[g(Xr:n)]
(3.1.2)
Осы секілді туындатқыш моменттерді анықтауға болады:
(3.1.3)
және ковариациясын осыған лайық мына
(3.1.4)
Әдеттегідей, және
және r ,
мұндағы – ортақ үлестірім
Мысал 3.1.1.
(0, 1) – де анықталған теңөлшемді р(х) үлестірім
Ықтималдықты интегралды өзгеру(ауысу) күшінен реттік статистикалар әрқайсысының математикалық
Туындатқыш моменттерді есептеудің жалпы әдістемесін 4 айнымалы жағдайында
x
x
r , , ,
Тұрақтыны C әрпімен белгілеп, якобиан
x
x
Бұл теңдік, басқаларға қарағанда, Yi шамалары және де
x
x
реттік статистикалары үшін жалпы жағдайда нәтиже мына түрде
(3.1.6)
Демек, дей отырып,
(3.1.7)
және
.
Экспоненциалды үлестірім тығыздығы үшін анық лайықты формулаларды алуға
(3.1.8)
(3.1.9)
N(0, 1) қалыпты үлестірім үшін орташалар жеткілікті толық
Реттік статистикалардың сызықты функцияларының арасында ерекше назар аудартатын
мына теңдіктер
әділ болады.
Мысал 3.1.2.
(0, 1) – де теңөлшемді үлестірім үшін (3.1.7)
.
Тексеру үшін, (2.3.4) – тен r =
,
шығатыны және ло мынаны
беретінін байқаймыз.
үшін басқа теңдікті бөліктеп интегралдау арқылы алуға болады:
Қайтадан байқайтынымыз, кез – келген Р(х) үлестірім функциясы
сол себепті
(3.1.10)
Егер бұл формулада P(x) – ті Fr(x)
(3.1.11)
Сонымен қатар мынаны аламыз:
және егер р(х) х 0 –
.
Есептеуді тексерудің маңызды жалпы әдістерін мына теңдіктің көмегімен
,
Мұнда сол жақ бөлігіндегі қосындылар оң жақ бөлігіндегі
,
,
(3.1.15)
және (3.1.14) – ті (3.1.15) – ке қойсақ,
(3.1.16)
Мына теңдіктің
екі жағын квадраттасақ,
(3.1.17)
теңдігін аламыз.
Олардың үзіліссіз және дискретті үлестірім үшін дұрыс екені
3.2 Қалыпты үлестірім
§3.1 – де аталған Тейкроу(1956) таблицалары, n ≤
деп болжаймыз.
(3.1.13) – (3.1.17) жалпы қатынастарына толықтыру ретінде μ
δ2 = 1 болғандағы жағдайды аламыз, симметриялы үлестірім
(3.2.1)
Ол мына қатынаспен тепе – тең:
Дәлелдеуі. және
E(
немесе
қойып, (3.2.1) – ді аламыз.►
жай моменттер және реттік статистикалардың туындалған моменттерін қарапайым
,
сол себепті
Онда интеграл астында х – тан тақ функция
болады. Сондықтан
,
Дербес жағдайда
және
(3.2.2) – ні а бойынша диферренциалдасақ, n үшін
Бөліктеп интегралдаудың көмегімен мына теңдікті аламыз:
Сондықтан
Осы теңдіктің көмегімен реттік статистикалардың моменттерін есептеуге болады.
Осыған сәйкес
Осы секілді алатынымыз:
.
Туындалған моменттерге де қолданылатын бұл жалпы әдіс мына
көмегімен барлық интеграл теңдіктеріне жинақталады, мұндағы Q –
мұнда △ = abc + fgh –
Мысал 3.2.1.
Жоғарыда сипатталған процедура көрсетілген қадамдарды
Алатынымыз:
Осы теңдікті (А) – ға қойып және интегралдау
Ішкі интеграл мынаған тең:
Енді
есептеу керек және
қойып, 3 еселі интеграл мына түрге келеді:
.
Соңында алатынымыз:
Сипатталған әдістердің көмегімен n≤5 үшін қарапайым функциялардың барлық
Рубен қиын болса да, тапқыр әдісті көрсетті. Оның
түрдегі интеграл арқылы шығарды. Реттік статистикалардың жеке моменттері
3.3 Дискретті жағдай
дискретті үлестірімі үшін k –
мұндағы (2.4.1) –
қойып, моменттердің туындатқыш функцияларын анықтаймыз:
(3.3.1)
үшін – тен алынған
екені анық.
Егер X – та k – шы факторлы
(3.3.2)
үшін
(3.3.3)
екені Феллерде дәлелденген, мұнда k – қысқа дифференциалдау
Егер бар болса, онда (3.3.2) –
(3.3.4)
Дербес жағдайда
Бұл жерден Х дисперсиясы үшін теңдік шығады:
моменттері үшін бұл нәтижелерді пайдалану үшін тек P(x)
(3.3.5)
.
Дербес жағдайда, (3.3.5) – тен экстремумды моменттерді аламыз:
және де
,
бұл үзіліссіз үлестірім үшін ұқсас
Бұл формулалар болымды үзіліссіз шамалар үшін сәйкес нәтижелердің
=
қоямыз. Онда
Сәйкесінше
(2.4.5) – тен алатынымыз:
(3.3.6)
мұнда интегралдау болатын
Екі биномиальды шамалардың кішісінің математикалық күтімі және дисперсиясы
§3.4. Рекурренттік қатынастар
Көптеген авторлар бастысы қажет(талап етілген) моменттерді есептеуде тәуелсіз
I – қатынас.
Туындатқыш үлестірім үшін алатынымыз:
мұнда r = 1, 2,…n – 1,
Бұл нәтиже үзіліссіз жағдай үшін Коул(1951) бойынша және
(3.4.1)
(3.4.2)
мұндағы
△
Толық емес – функция үшін
қойып, мынаны аламыз:
Осы жерден бірден I – қатынас шығады.
Салдар 1А. Жұп үшін алатынымыз:
I–қатынас–қа r = n/2 қоямыз.
k = 1 қойып, n(n – жұп) және
Салдар 1В. 0 –ге қатысты симметриялы үлестірім және
Дәлелдеуі.
1А салдарына мына теңдікті қоямыз:
.
Ескерту. I – қатынастың дәлелдеуі тек толымсыз В
.
Осындай әдіспен моменттердің маңыздырақ жағдайы үшін тағы тұжырымдалатын
II – қатынас.
Туындатқыш үлестірім үшін
(3.4.3)
теңдігі орындалады. Осылай моменттері r,
Дәлелдеуі:
- ді мына теңдікте
жіктейміз. Онда оң жағындағы интеграл астындағы теңдік мына
i=j+r қойып, соңғы теңдікті аламыз:
Бұл теңдікті (3.4.1) және (3.4.2) – ге қойып,
үшін лайық нәтиже мына түрде болады:
III – қатынас Туындатқыш үлестірім үшін жағдайында
Дәлелдеуі.
x
x
формуласында интегралды
ыдырауына сай біртипті интегралға бөлеміз.
Осы жерден III – қатынас шығады.
(3.3.6) көмегімен бұл пікір дискретті жағдай үшін де
Қорытынды
Бұл дипломдық жұмыста реттік статистика ұғымы, қолданылымдары, реттік
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі
Г. Дэйвид. Порядковые статистик, - М.:Наука,.1979-(9-56 с.).
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее
Сархан и Гринберг. Введение а теорию порядковых статистик,
Уилкс С. Математическая статистика, - М:Наука,.1967-.
Крамер. Математические методы статистики, - М:Мир,.1975-.
Карлин. Основы теории случайных процессов, -
М:Мир,.1971-
56
