Дифференциалдық теңдеулерді мектепте оқыту курстық жұмыс
Мазмұны
Кіріспе ...........................3
Тарау 1. Дифференциалдық теңдеулерді мектепте оқытудың
теориялық негіздері ......................5
1.1. Дифференциалдық теңдеулердің математикада алар орны ....................5
1.2. Дифференциалдық теңдеулерді мектепте оқытудың
педагогикалық психологиялық және философиялық негіздері.....7
Тарау 2. Дифференциалдық теңдеулерді оқытудың әдістемесі ..............13
2.1. Дифференциалдық теңдеулер туралы ұғым ........13
Көрсеткіштік өсудің және кемудің дифференциалдық теңдеуі .......14
Гармоникалық тербелістер ...............17
Дененің атмосфералық ортада құлауы ...............19
жаттығулар ……………………………………………………………….20
2.2. Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер .............21
жаттығулар ...........................22
Дифференциалдық теңдеулерді құруға арналған есептер ...23
жаттығулар ............................27
Қорытынды ...............30
Әдебиеттер .................31
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Жұмыс көлемі: 30 бет
Пәні: Соңғы қосылған курстық жұмыстар
-----------------------------------------------------------------------------------
КУРСТЫҚ ЖҰМЫСТЫҢ ҚЫСҚАРТЫЛҒАН МӘТІНІ
Мазмұны
Кіріспе .....................................................................................................................3
Тарау 1. Дифференциалдық теңдеулерді мектепте оқытудың
теориялық негіздері ............................................................................5
1.1. Дифференциалдық теңдеулердің математикада алар
1.2. Дифференциалдық теңдеулерді мектепте оқытудың
педагогикалық психологиялық және философиялық негіздері............. ..........7
Тарау 2. Дифференциалдық теңдеулерді оқытудың әдістемесі ..............13
2.1. Дифференциалдық теңдеулер туралы ұғым ............................................13
Көрсеткіштік өсудің және кемудің дифференциалдық
Гармоникалық тербелістер .....................................................................17
Дененің атмосфералық ортада құлауы ...................................................19
жаттығулар ……………………………………………………………….20
2.2. Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер .............21
жаттығулар ...................................................................................................22
Дифференциалдық теңдеулерді құруға арналған есептер
жаттығулар ....................................................................................................27
Қорытынды .........................................................................................................30
Әдебиеттер ...........................................................................................................31
Кіріспе
Қазіргі кездегі мектеп бағдарламасында дифференциал
Қазіргі қоғамның әлеуметтік сұраныстарына байланысты
Айнымалылары ажыратылатын қарапайым дифференциалдық теңдеу
Сызықты диффренциалдық теңдеулердің қолданылуын
Парметрлі теңдеулердің шешімін өзара әрекеттесуші
Дифференциалдық теңдеулерді оқу қиял ойдың
Дифференциалдық теңдеулер болашақ студенттің
Дифференциалдық теңдеулер мен олардың
Осылайша, біздің тақырыптың өзектілігі келесілермен
- математикалық талдау және
- дифференциалдық теңдеулер мектептің математика курсында
Бұл жұмыстың негізгі мақсаты –
Мектеп курсында дифференциал теңдеулерге
Тарау 1. Дифференциалдық теңдеулерді мектепте оқытудың теориялық
1.1. Дифференциалдық теңдеулердің математикада алар орны
Дифференциалдық теңдеу негізгі математикалық ұғымдардың бірі
Дифференциалдық модельдер - бірі бізді
Қарапайым дефференциалдық модельдерді құру процесінде
Әрине іс жүзінде дифференциалдық теңдеулерді
Кейбір жағдайларда ғана дифференциалдық теңдеулерді
Дифференциалдық теңдеулердің шешімдерін көрсету үшін
Осылайша, дифференциалдық теңдеулердің өзін шығармай-ақ шешімдердің қайсыбір қасиеттері
Қарапайым дифференциалдық теңдеудің сапалық теориясы
1.2. Дифференциалдық теңдеулерді мектепте оқытудың
Мектептегі математика курсының негізгі мақсаттарының бірі
Қазіргі заманда, жалпы мойындаған жағдай математиканы
Оқушыларды рухани дамыта отырып,
Математикалық – жаратылыс ғылымдарының матедологиясының дифференциалдық
Оқушылардың ғылыми дүниетанымын және жалпы
Математиканы оқытудың қолданбалы бағытының мәселесі математиктер
Жоғарыда аталған авторлардың барлығы математиканы мектепте
Б.А. Найманов өзінің кандидаттық диссертациясында дифференциалдық теңдеулердің қолданбалы
- абстрактілі ұғымдар мен теориялық білімдерді
- математиканың теориялық мәселерінің математикалық теорияның
- студенттерге оқушыларды математиканың қолданбалы бағытымен таныстыру
Оқыту процессінде қолданбалы мәселелерді пайдалану
Дифференциалдық теңдеулердің қолданбалы бағытынан оқушы нақты
Нақты процесстің математикалық моделі деп, әдетте,
Математикалық модельдеу өнері нақты есепті математикалық
Матетикалық модельдеу өзінің қарапайымдылығымен процесті жақсы
Әр түрлі есептерде нақты процестердің математикалық
Бұл есептердің сипаты мен шығару
жүйе өзгерістерінің бастапқы күйін байланыстыратын нұсқауларды сипаттайды.
Кез келген процесті оқып үйрену оның
Процестен (қарапайым процестің) жеке моменттегі процестің
Дифференциалдық теңдеулерді құрудың қатаң тәртібі жоқ.
есептің шартын талдап, оның мәнін айқындайтын сызбаны
қарастырылып отырған процестің дифференциалдық теңдеуін құру;
осы теңдеуді интегралдап, оның жалпы
берілген бастапқы шарттардың негізінде есептің дербес шешімін
қажет болған жағдайда көмекші параметрлерді (мысалы, пропорционалдық коэффициентін және
6) қарастырылып отырған процестің жалпы
7) жауапты талдау және есептің бастапқы
Модельдеу икемділігі танымдылық іс-әрекеттің ажыратылмас
Біз нақты құбылыс туралы сезіну
Соңғы жылдары психикалық іс әрекеттің
Л.М. Фридман, В.В. Давыдовтың орта мектепте математиканы оқытудағы
«... математиканы оқытудағы модельдеу принципі, біріншіден,
Бұдан оқушыларды нақты процестерді құру әдістемесімен
Дифференциалдық теңдеулердің қолданбалы бағыты арқылы
Жалпы математиканы оқыту әдістемесінің түрлері
Соңғы жылдары зерттеушілердің пәнаралық байланысты ортануға
Пәнералық байланыстар, оқытудың барлық қызметтерінің,
Жоғарыда айтылғандардың бәрін жалпылап, дифференциалдық
Ең алдымен, бұл дифференциалдық теңдеулердің оқушыға
Әрі қарай, дифференциалдық теңдеудің математикалық модельдеу
Ең соңында, дифференциалдық теңдеулер - бұл табиғат
Тарау 2. Дифференциалдық теңдеулерді оқытудың әдістемесі
2.1. Дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы түсінік
Физиканың негізгі заңдарының бірі Ньютонның екінші
Енді нүктенің жылдамдығы координатаның уақыт бойынша
(2)
Біз (қозғалыс заңы) аргументі
Анықтама 1: Дифференциалдық теңдеу деп
Дифференциалдық теңдеулерге мыналар мысал бола алады:
және т.б.
Соңғы теңдеулерде ізделінуші функция у және оның
Мысал 1. Космостан жерге түсіп келе
Шешуі. Бүкіл әлемдік тартылыс заңы
түрінде жызылады.
Символдық түрде дифференциалдық теңдеу былай жазылады.
Жалпы алғанда, егер ізделінді функция бір
2.1.1. Көрсеткіштік өсудің және көрсеткіштік кемудің дифференциалдық
Физикалық, техникалық, биологиялық және әлеуметтік
(3)
қанағаттандыратындай функцияларды табудыға келтіріледі, мұндағы
Көрсеткіштік функцияның формуласын біле отырып,
(4)
шешімі кез келген функция болатынын
(3) теңдеудің (4) түрдегі
(5)
көмекші функциясын қарастырамыз. g функцияның туындысын табамыз:
- тің орнына (3) теңдеудегі
g функцияның туындысы нөлге тең болғандықтан,
бұдан
дәлелдемекшіміз де осы болатын.
Е с к е р т у. Жоғарыда келтірілген
(3) дифференциалдық теңдеудің мағынасы мынау -
Мысал 2. (Радиоактивтік ыдырау). Айталық,
Ал уақыт өтуімен заттың m (t)
мұндағы k > 0. Жоғарыда тағайындалған қасиет
(6)
С константасы (6) шарттан табылады. Атап
яғни
Соңында, былай болып шығады:
Осы қарастырылған мысал типтік сипатты:
Радиоактивті заттың массасы екі есе
яғни
бұдан шығатын
Олай болса,
Мысалы, радий үшін жыл.
Миллион жылдан кейін радийдің бастапқы
2.1.2. Гормоникалық тербеліс.
f функциясының туындысынан
(8)
Функцияның сипатын неғұрлым толық зерттегенде
(8) формуланы талдай келе, синус
Физикада, атап айтқанда, механикада, мына теңдеуді
(9)
қанағаттандыратын f функциялары үлкен роль атқарады, мұндағы
Осы тектес теңдеуге саятын бір
1 –сурет
Шар центрін координатасы нүктеге орын
яғни
басқаша айтқанда, шар центрінің серпімділік
теңдеу (9)-ға сәйкес уақыт өткенде физикалық
А мен тұрақтылары қандай
(10)
функциясы (9) теңдеудің шешімі екенін
Кері ұйғарым орын алады: (9) теңдеуінің кез
Егер бастапқы шарттар
2.1.3.Дененің атмосфералық ортада құлауы.
Енді күрделі бір мысалды қарастырайық.
яғни
мұнда деп белгілеп қозғалыс
мұндағы (11)
Бұл теңдеуді өзімізге таныс түрге
яғни
Ал бұл теңдеудің шешімдері белгілі:
Осы мысалдардан-ақ функцияларды зерттеу барасында дифференциадық
Жаттығулар
1. функциясы қандай теңдеуді қанағаттандыратын
2. функциясы
3. функциясы
4. Гармоникалық тербелістің дифференциалдық теңдеуін
2.2. Айнымалылары ажыратылатын диференциалдық теңдеулер
Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеу деп
түріндегі теңдеулерді айтамыз.
Бұл теңдеуді шешу үшін алдымен
Сонан соң осы теңдеуді интегралдау қажет:
1. теңдеуінің жалпы шешімін
Шешуі: Айнымалыларды ажыратып мынаны аламыз:
Алынған теңдеулердің екі бөлігін де интегралдаймыз
Қандай да бір тұрақты С кез келген
Бұл берілген теңдеудің жалпы шешімі.
2. болғанда
Шешуі: Айнымалыларды ажыратып, мынаны аламыз.
Алынған теңдеудің екі бөлігін интегралдаймыз:
немесе
Бұл берілген теңдеудің жалпы шешімі С
немесе бұдан С =8.
Ендеше, аталған бастапқы шарттарды қанағаттандыратын
Жаттығулар
в)
2) г)
3) б)
4)
б)
Көрсетілген бастапқы шарттарды қанағаттандыратын теңдеудің дербес
x = - 2 болғанда y = 4;
х = 2 болғанда y =
6) t = 2 болғанда
7) x
8) x = 0
9)
10) x = 1
11) x =
12)
2.3. Дифферециалдық теңдеулерді құруға арналған есептер
Есеп 1. Егер дене М(0,4) нүктесінен бастап
Шешуі: Түзу сызықты қозғалыста жылдамдық
немесе
Интегралдап, келесіні аламыз: Бастапқы
Есеп 2. нүктесі арқылы
Шешуі: Шартқа сәйкес есептің дифференциалдық теңдеуі
немесе
Соңғы теңдеуді интегралдап, алатынымыз
Есеп 3. Ашық резервуалардағы судың алғашқы температурасы
Шешуі: t уақыт моментіндегі
шамасы резервуардағы судың және оны
Алынған теңдеуді интегралдаймыз:
немесе
бұдан
(*)
Бұл қатынас судың салқындау заңын
болғанда болатын бастапқы
немесе яғни
С1-дің алынған мәнін (*) теңдігіне
(* *)
шамасын табайық. Шарт бойынша, t=10 мин
Бұл мәндерді (**) қатынасына қойып,
650 = 550 ek*10 + 150, немесе
соңғы теңдікті логарифмдеп, келесіге ие
бұдан
– ның мәнін (**) қатынасқа қойып,
(***)
Бастапқы моменттен 30 минут өткеннен кейін судың
немесе
Есептеулер жүргізейік.
Сонда
Енді қанша уақыттан кейін резевуардағ судың
, немесе
бұдан
немесе
яғни
Есеп 4. Сұйықта айналатын диск үйкеліс
1) егер болғанда ол 12 рад/с
2) дискінің айналу жылдамдығы 1
Шешуі: уақыт моментіндегі дискінің
бұдан
немесе (*)
болғанда рад/с бастапқы шартын
(**)
Келесі берілгендер бойынша k -ның сандық
және рад/с. Бұл мәндерді
бұдан
k – ның мәнін (**) теңдігіне қойып, келесіні
(***)
уақыт моментіндегі дискінің айналу жылдамдығын табамыз.
(рад/с).
Қандай уақыт моментінде диск 1 рад/с жылдамдығымен айналатынын
Жаттығулар
1. Егер дене нүктесінен бастап
2. нүктесі арқылы өтетін және бұрыштық коэффициенті
3. нүктесі арқылы өтетін және
4. Ауаның температурасы 200-қа тең. Дене 40
5. Радий бастапқы пропорционал жылдамдықпен
6. Сұйықта айналатын дискіні баяулатушы үйкеліс
7. Гармоникалық
8. m мг С радий t мин
9. Радиоактивтік ыдырау басталар қарсаңында
10. Радиоактивті заттың жартылай ыдырау периоды
Неше сағаттан кейін оның мөлшері
11. Бір дененің температурасы 2000, ал екіншісінікі
12. Екі дененің де температурасы бірдей 1000.
13. Моторлы қайық 30 км/сағ жылдамдықпен
Қорытынды
1. Дифференциалдық теңдеулердің гуманитарлық потенциалының
- математиканы оқытудың қолданбалы бағытының
- математикалық модельдеудің әдістерін игеру;
- оқытуда пәнаралық байланысты орнату
2. Дифференциалдық теңдеулерді мектепте
- ғылыми дүниетанымды тәрбиелеу;
- математикалық білім, біліктілік және
- жоғары дәрежелі математикалық ойды
- нақты процестердің математикалық моделін
- математикаға қызығушылықты бейімдеу, математикалық қабілетті дамыту;
3. Дифференциалдық теңдеулер туралы мағлұмат
Осылайша, зерттеу барысында алға қойылған
Пайдаланылған әдебиеттер
Алгебра және анализ бастамалары есептерінің жинағы 9-10
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике:
3. Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики
математике. – М.: Педагогика, 1987.
4. Гнеденко Б.В. Формирование мировоззрения
обучения математике. – М.: Просвещение, 1982.
5. Доро П.Я. Наглядные пособия
школе. М.: Учпедгиз, 1960.
6. Жәутіков О.А. Дифференциалдық теңдеулердің қолданылуы туралы
әңгіме. - Алматы: Ғылым, 1986.
7. Колягин Ю.М. Луканкин Г.Л. Основные
математики. М.: Просвещение, 1974
8. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. және басқалар.
Алгебра және анализ бастамалары: орта мектептің 10-11 сынып
оқушыларына арналған оқулық. Алматы: «Рауан», 1998.
9. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее
М.: Наука, 1985.
10. Пойа Д. Математическое открытие. М.: 1976
11. Фрайденталь Г. Математика как педагогическая задача.
М.: Просвещение, 1983. – Ч. 1 – 2.
