Сплайн функциялар диплом жұмысы
МАЗМҰНЫ - www.topreferat.com.kz
Кіріспе………………………………………………………………......................3
§1 Сплайн функциялар. Оларды бейнелеудің негізгі үлгілері…………....5
§2 Жуықтау теоремалары……………………………………………….........9
§3 Интегралдық теңдеулерді сплайындар көмегімен жуықтап шешу…….........................................................................................13
Қорытынды....……………………………………………………………...........20
Пайдаланылған әдебиеттер...........…………………………………………..21
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Жұмыс көлемі: - бет
Пәні: Математика
-----------------------------------------------------------------------------------
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫСТЫҢ ҚЫСҚАРТЫЛҒАН МӘТІНІ
Мазмұны
Кіріспе………………………………………………………………......................3
§1 Сплайн функциялар. Оларды бейнелеудің негізгі үлгілері…………....5
§2 Жуықтау теоремалары……………………………………………….........9
§3 Интегралдық теңдеулерді сплайындар көмегімен жуықтап шешу…….........................................................................................13
Қорытынды....……………………………………………………………...........20
Пайдаланылған әдебиеттер...........…………………………………………..21
Кіріспе
Қазіргі кездегі математикалық зерттеулерде әсіресе оның қолданбалы бағыттарында жуықтау
Қазіргі кезде сплайндар ұғымына әр түрлі пайым бар болғанымен,
Сплайн функцияларының жуықтау теориясындағы бұрыннан кеңінен қолданыста болып келген
Ал таза теориялық негізін жуықтау теориясында сараптасақ көп жағдайда
Бұл жұмыста, негізінен, сплайндар мәселенің классикалық қойылымында анықталып үзіліссіз
Бұл теоремалардың қолданысы ретінде, және дипломдық жұмыстың негізгі нәтижесі
§1 Сплайн функциялар. Оларды бейнелеудің негізгі үлгілері
Анықтама 1:
(n: a = x0 ( x1 ( … (
түйідерінде ақауы k 1 ( k ( m
1) Sm(x) ( Рm
2) Sm(x) ( Cm-k [a, b]
{xі} нүктелері сплайн түйіндері деп аталады.
[a, b] сегментінде Sm(x) (m-k+1) –ші туындысы үзілісті болып
Көп жағдайда біз дефекті 1-ге тең полиномдық сплайндарды қарастырамыз.
Осы сияқты үш жағдай қарастырамыз
m ( N, (x-t)m = [max(0,
қалдық мүшелі Тейлор формуласын интегралдық түрде өрнектеуге болады.
f(x)=
а ( х ( в
Егер f(x)= Cm [a, b], онда (2) пайдаланып, дәрежесі
f(x)= (3)
мұндағы xk
((х) = (x-x0)(x-x1) … (x-xn)
f (xk, xk+1)=
f (xk, … ,xk+m)=
(m(1) болсын,
мұндағы хі
f(xk, …., xk+m) =
мұндағы (k(х) = (x-xk)=(x-xk)(x-xk+1) ….. (x-xk+m)
Егер f(x)( Cm [a, b], m(N, онда (2)-ні
f(xk ,….. , xk+m)=
(0 ( k ( k+m ( n) аламыз.
(2), (3) және (5) түрлендірулеріндегі ядролар – Пеано ядролары
Белгілеу енгіземіз
Bm-1(t)= Bm-1 (xk, xk+1, … xk+m t)= m
(xk Bm-1(t) функциясын түйіндері xk, xk+1,…, xk+m болатын
Анықтама2. S2(x;f) функциясы f(x) функциясы үшін интерполяциялық параболалық сплайн
Егер
1) S2 (x) ( Р2 , х ( (
2) S2(x) ( C(1) [a, b] ;
3) S2 (xі) = f(xі) , (і =0,
орындалса
– сплайн түйіндері,
xі – интерполяция түйіндері.
S2 (x) сплайны n+3 парметрден тәуелді, демек 2 бос
Егер f(x) функциясы (b-а) периодты болса, онда S (x)
() (і =1, 2)
Жалпы жағдайда келесі шекаралық шарттар қолданылады:
() ,
() ,
мұндағы аn , bn, Аn ,Вn(R. Бұл сандарды дәл
= ,
болса, оларды жуық мәндерінің сәйкес туындыларымен ауыстыруға болады.
Бұл мына шартқа эквивалентті:
()
mі = ,
Mі = , (і =0,1,…, n) (12)
Сондай-ақ – бөлік тұрақты функция, онда
hі = xі+1 - xі (і =0,1,…, n-1),
(і =0,1,…, n-1).
болсын.
Мұндағы f (xк-1, хк, хк+1),
Анықтама 3. S3(f)=S3(x;f) функциясы f(x) функциясы үшін нтерполяциялық кубтық
Егер
S3 (x;f) ( Р3 , х ( (xі, xі+1),
2) S3(x; f) ( C(2) [a, b] ;
3) S3 (xі; f) = f(xі) , (і
1 анықтаманың сонғы жағында айтылғандай кубтық сплайндардың екі бос
()
() ,
() ,
()
§ 2. Жуықтау теоремалары.
Теорема 1. Егер f(x)(
(і = 0, 1, 2, …, n); түйіндерінде (f(
1) || х (t)-Рn*(t) ||С[a, b ] = mіn
ω (х, () функциясы ( бойынша келеімейтын функция.
ω (х, (1+(2)( ω (х, (1)+ ω (х, (2)
ω (х, n()( n ω(х, () , (n(N) (2)
ω (х, (()( ((((+1) ω(х, () , (((R+)
(((– (-ң бүтін бөлігі
шекаралық шарттарын қанағаттандыратын интерполяциялық параболалық слайны мына теңсіздікте орын
| | ( КS|| (n ||2-S(n
x([a, b]
периодты шекаралық шарттар және (2) шарттар үшін
(n = ω ( f((, || (n || ),
(1) шекаралық шарты үшін
(n=3/7ω( f((, || (n || ) +max(4/7ω ( f((,||
Ал
х (t) ( С[ a, b] , ω (х,
t, t+h([a,b] (6)
0(((b-а
шарты үшін
(n = ω ( f((, || (n || )+2/7max(|
және
K0=7/8 , K1= K2=7/2 (8)
Теорема 2. Егер f(x)(С[ a,
және
(n : а = түйіндерінде S2(x) интерполяциялық параболалық сплайны периодты шекаралық шарттарды (егер
| f(x)- S2(x) | ( ω(f, || (n ||
шекаралық шарты үшін
(n = max(| | , |
шекаралық шарты үшін
(n = max(| | , |
Теорема 3. Егер f(x)( С(S)[a,b], S=0, 1, 2,
| S(х) | ( (1+4() || f і ||
| S((х) | ( (4+4() || f і ||
| S(( (х) | ( (8+16() || f і
( а ( х ( b )
| S(S) (х) | ( 2 || f (S)
теңсіздіктерін қанағаттандырады.
(10) жағдайында R((n) ( ( теңсіздігі орындалады деп қосымша
(11) интерполяция түйіндерінде шегі жоқ және периотды шекаралық шарты
( S,n = 0, S=0, 1, 2,
(1) шартында
( 0,n = ( 1,n || (n || ,
( 2,n= max(| 0,2 | f(xі)- f(x0) аn
2 | f(xn)- f(xn-1) bn |
(6) шартында
( 0,n = ( 2,n || (n ||2 ,
( 2,n= max (| Аn| , | Вn |
Теорема 4. Егер f(x)(С(2) [a,b], f(x)(
| f(S)(x)- S3(S)(x; f) | ( KS|| (n ||2-S
x([a,b] (S=0, 1, 2) (14)
мұндағы
K2= K1= 4K0=5
және периодты шекаралық шарттар үшін
αn=ω(f,||Δn||)
( n = ( n (x)=
ω( f((, || (n || ), а+ h0 (
ω( f((, || (n || ) max( ),
х0 ( х ( х1 , хn-1 (
(13) шекаралық шарттар үшін
( n = ω( f((, || (n
- а n – f(((х0) |,
(14) шекаралық шарттар үшін
( n = ω(f((, || (n || )+
Теорема 5. Егер f(x)(С(3) [a,b], және S3(x; f) сплайны
| f(S)(x) - S3(S)(x; f) | ( KS ||
мұнда
S=0, 1, 2,3 және K3=9, K2= 18,
Теорема 6. Егер f(x)(С(к) [a,b], Егер f(x)(С(2) [a,b],
h=(b-а)/n, n(N бірқалыпты түйіндерінде интерполяциялық қубтық сплайны периодты шекаралық
| S3(к)(x; f) | ( 5|| f(к)(x) ||
§3. Интегралдық теңдеулерді сплайндар көмегімен
Фредгольмның ІІ-ретті интегралдық тендеуінің сандық шешімдеріүшін сплайндардың қолданылу мүмкіндіктерін
у(х) = f(x) + ( (1)
мұндағы
f(x)(C[a, b] К(х,t)(C( ), ( )=[a,
(-нақты параметр . Біз түйіндері бірқалыпты болатын, сәйкесінше(1.10
(1.17) шарттарын қанағаттандыратын, қубтық және параболалық сплайндарды қарастырумен
Түрлендірулерді қубтық сплайндар үшін қарастырамыз
S3(x) =
мұндағы
D0(х+а) = (3)
D0(х+а) = D0(х+а-kh)
Онда ( 1.10 ) шекаралық шарты Сk атауында мына
С-1 = 4 С0 - 6С4+4С2 - С3
Сn+1 = 4 С n - 6С n-1+4Сn-2 -
Сол іспеттес параболалық сплайндар үшін де қолданамыз
S2(x) = (5)
мұндағы
В0(х+а) = (6)
Вk(х+а) = В0(х+а-kh)
Бұл жағдайда ( 1.17 ) шекаралық шарты
d-1=3d0 - 3d1+ d2 , dn+1= 3dn -
арақатысына эквивалентті.
Бастапқы шарттан Sk(x), k=2,3 сплайнын қарастырамыз.
Sk(xі) = f(xі)+ ( ,
Басқаша k=3 болғанда (4) шарты, k=2 болғанда (7) шарты
Теорема: Егер (
шешімі С(Р) [a,b] байланысты, онда (8) жүйе жалғыз шешім
|| у(і)(x) – S2(і)(x) || С[a,b] (
(0( і ( р ( 2),
|| у(і)(x) – S3(і)(x) || С[a,b] (
(0( і ( р ( 3),
мұндағы
В(0,2) = , В(1,2) = В(2,2) =
В(1,1) = В(0,1) = , В(0,0) = 2,
А(і,3) ( 18, А(і,2) ( 16, А(і,1) ( 17,
Дәлелдеу: Sk(x;у), k=2,3 сплайны Sk(xі,у) = у(xі), і= 0,1,…,n
Sk(xі,у) = f(xі)+ ( , (11)
((х) = Sk(x;у)- Sk(x)
(і=((хі)
||(і|| = |(і|,
болсын дейік, онда (11)деп (8) теңдекті шегерсек,
|(і| ( ( ||( ||+( || у(t)-Sk(t;y) ||C[a,b] ,
||( || ( (13)
аламыз .
Sk(x;у) – интерполяциялық сплайнына аралық жуықтау қасиетін қолдан-ғаннан
|| ||C[a,b] ( || ||
(k=2,3)
(13)–ті ескеріп , k=2 болғандағы 2.3 теоремасы және k=3
(Сі( және (dі( параметрлері үшін теңдеулер жүйесін шығарамыз. k=2
dі = (15)
(і= 0,1,…, n)
мұндағы
(16)
Еске сала кетсек
= а , (k= -1,0,1),
, (k= 2,3,…, n+1),
, (k= -1,0,…, n-2),
=b,
Сол іспетес k=3 болғанда
, (17)
(і=0,1,…, n)
мұнда
(18)
= а , (k= -1,0,1),
, (k= 2,3,…, n+1),
, (k= -1,0,…, n-2),
=b,
(7)– ескеріп, (15) теңдіктен d-1 және dn+1 параметрлерін шығарамыз.
,
,
мұндағы
(k= 3,4,…, n-3),
(і = 0,1,…, n)
және bk,і –(16) теңдігімен анықталады.
(15)-гі бірінші теңдеуді 5/4 көбейтіп нөлінші теңдеуге, сол іспеттес
Онда
, (і = 0, 1, 2, …, n-1)
мұндағы
, (k= 4,5,…, n-4),
және
,
= ,
,
Алдыңғы тараудан біз екенін білеміз.
Бұл дәлелді ескерсек, онда В-1(х-а) ( ,
Вn+1(х-а) ( , b-h/2( x (
(19) –дан шығаратынымыз,(19)-дың оң жағындағы белгісіз коэффициенттер модулдерінің қосындысы
Осылайша (( болғанда (19) жүйе басым
Осы іспеттес және D1(х) (
Dn +1(х) ( , b-h( x (
және (( 9/110 болғанда (20) жүйе негізгі басым диагональгға
Қорытынды
Екінші және үшінші дәрежелі сплайн функциялардың үзіліссіз және тегіс
Әдебиеттер
С.Б. Стечкин, Ю.Н.Субботин. «Сплайны в вычислительной математикең, «Наукаң ,
Н.П.Корнейчук. «Сплайны в теории приближенияң, «Наукаң , 1984ж., 7-40.
Алберг Дж., Нильсон Э., Уолт Дж., «теория сплайнов и
Ю.С. Завьялов, Б.И.Квасов, В.Л.Мирошниченко «Методы сплайн функцийң, 1973ж., 3-17.
А.А. Женсыкбаев, «Приближение неоторых классов дифференцируемых периодических функций интерполя-ционными
2
19
