Матрицалар алгебрасының амалдары диплом жұмысы
МАЗМҰНЫ - www.topreferat.com.kz
беті
Кіріспе………………………………………………………………………..................4
I – Бөлім МАТРИЦАЛАР АЛГЕБРАСЫНЫҢ НЕГІЗГІ ЕРЕЖЕЛЕРІ.......5
1.1 Матрица ұғымы. Негізгі түсініктер....................................................................5
1.2 Матрицаларды қарапайым түрлендіру жолдары...............................................8
1.3 Матрицаларды қосу, алу және сандарға көбейту..............................................9
1.4 Матрицаларды өзара көбейту............................................................................10
1.5 Матрицаны транспонирлеу................................................................................12
II – Бөлім МАТРИЦАЛАР АЛГЕБРАСЫНЫҢ АМАЛДАРЫ................................15
2.1 Кері матрица.........................................................................................................15
2.2 Матрицаның абсолютті шамасы және нормасы.............................................17
2.3 Матрицаның рангысы..........................................................................................19
2.4 Үшбұрышты матрицалар......................................................................................23
2.5 Анықтауыштарды есептеу....................................................................................28
Қортынды.........................................................................................................................32
Әдебиеттер........................................................................................................................32
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Жұмыс көлемі: - бет
Пәні: Математика
-----------------------------------------------------------------------------------
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫСТЫҢ ҚЫСҚАРТЫЛҒАН МӘТІНІ
МАЗМҰНЫ
беті
Кіріспе………………………………………………………………………..................4
I – Бөлім МАТРИЦАЛАР АЛГЕБРАСЫНЫҢ НЕГІЗГІ
1.1 Матрица ұғымы. Негізгі түсініктер....................................................................5
1.2 Матрицаларды қарапайым түрлендіру жолдары...............................................8
1.3 Матрицаларды қосу, алу және сандарға көбейту..............................................9
1.4 Матрицаларды өзара көбейту............................................................................10
1.5 Матрицаны транспонирлеу................................................................................12
II – Бөлім МАТРИЦАЛАР АЛГЕБРАСЫНЫҢ АМАЛДАРЫ................................15
2.1 Кері матрица.........................................................................................................15
2.2 Матрицаның абсолютті шамасы және
2.3 Матрицаның рангысы..........................................................................................19
2.4 Үшбұрышты матрицалар......................................................................................23
2.5 Анықтауыштарды есептеу....................................................................................28
Қортынды.........................................................................................................................32
Әдебиеттер........................................................................................................................32
КІРІСПЕ
Матрицалар алгебрасы қазіргі кезде сандық әдістерге байланысты жаңа алгоритмдермен
1960 – жылдардан соң ШЭӘ – нің дамуына Зенкевич,
I – Бөлім МАТРИЦАЛАР АЛГЕБРАСЫНЫҢ НЕГІЗГІ
1.1 Матрица ұғымы. Негізгі түсініктер.
Нақты немесе комплексті (түбір астында теріс сандар)
(1) – ші өрнектегідей
(1)
Бірінші өрнектегідегі матрицаның әрбір элементі оның қатары немесе элеименті
Егер болғанда болса
Егер оның диагоналындағы элементтердің мәні 1 – тең болса,
Соңғы матрицаны Кронекер символы арқылы былай да жазуға
Немесе
Бұдан мынадай теңдіктер шығады.
,
,
.
Нөлдік матрица ұғымы. Барлық элементтері нөлден тұратын, өлшемі
,
.
Келесі бір анықтама – матрицаның анықтауышы деген ұғыммен байланысты.
Сондай – ақ былай деп те белгіленеді
Шындығында соңғы түрдегі символ тым сирек қолдданылады.
Матрица түрлері әртүрлі болып келеді. Мәлімет ретінде олардың кейбір
1. Сирек толтырылған матрица
2. Диагоналдық матрица
3. Симметриялық матрица (егер болса)
4. Антисимметриялық (егер болса)
5. Нөлдік матрица
6. Бірлік матрица
7. Диагоналдық басым матрица
8. Оң анықталған матрица
9. Ленталық матрица
10. Екі диагоналдық матрица
11.Үш диагоналдық матрица
12. Квазидиагоналдық
13. Жоғарғы үшбұрышты матрица
14. Төменгі үшбұрышты матрица
15. Эрмиттік (түйіндес) матрица ( )
16. Теріс анықталған матрица
17. Транспонирленген матрица
18. Кері матрица
19. Тіркеме матрица
20. Шаршы матрица
21. Тік бұрышты матрица
22. Қарама – қарсы матрица
23. Торкөздік матрица
24. Сәйкес (эквивалентті) матрицалар
25. Айналдыру матрицасы (Якоби бойынша түрлендіру матрицасы)
26. Шекті матрица
27. Шексіз матрица
28. Мономиалдық матрица
29. Сингулярлық матрица (ерекше)
30. Ерекше емес матрица
31. Қалыпты матрица (нормальная)
32. Унитарлық матрица ( )
33. Эквивалентті матрица
34. Ортогоналдық матрица тағы сол сияқты. Біз бұл
Мономиалдық матрицада әрбір жатық жолы мен әрбір тік жолында
1.2 Матрицаларды қарапайым түрлендіру жолдары
Матрицаларды түрлендірудің төмендегі түрлері қарапайым түрге жатады.
1. екі жатық немесе екі тік жолдарды өзара ауыстыру
2. кез – келген тік немесе жатық жолдың элементтерін
3. жатық немесе тік жолдардың элементтерін түгелдей бір
Бір матрица екінші матрицаны шексіз қарапайым түрлендірулер арқылы алынған
Шаршы матрицасын әрбір қарапайым түрлендіру оны
Мысалы
матрицасының екінші және үшінші жатық жолдарының орындарын ауыстырып, эквивалентті
Осы матрицаны басқа жолмен де алуға болады. Ол үшін
матрицасының екінші және үшінші жолдарының орындарын ауыстырамыз.
Енді осы матрицаны матрицасының сол жағына
Өзге қарапайым түрлендірулер де осыған ұқсас жолдармен жүзеге асырылады.
1.3 Матрицаларды қосу, алу және сандарға
Егер және болып
Матрицаларды қосу және алу ережелер
1.
2.
3. Қосуға байланысты мынадай қасиеттер бар:
;
;
.
4. Матрицаны санға көбейту
;
;
;
;
Мұндағы – сандар. Егер
– қарама –қарсы матрица деп аталады.
1.4 Матрицаларды өзара көбейту
Мынадай екі матрица берілсін
және
Мұндағы –ның өлшемі дағын
.
Қортынды матрицаның элементтерін мынадай алгортиммен жазайық.
.
Соңғы өрнектегі индекстерінің мәндері былай өзгереді.
1 – мысал.
2 – мысал.
Бұрынғы оқулықтарда матрицаға да векторға да бір ғана
Ережелер:
1.
2.
3.
4.
Үшінші жолдағы – сан
5.
Соңғы ережеге оңай көз жеткізуге болады.
3 – мысал. , болсын.
Сонда бұлардың көбейтінділері мынадай болады.
, .
Демек бұдан екенін көреміз. Сондай –ақ
,
Екеуі өзара көбейтіледі: , ал
1.5 Матрицаны транспонирлеу
Берілген матрицасының тік жолдарын
Вектор жатық жолдың транспонирленген векторы тік
Транспонирленген матрицаның қасиеттері:
1. екі рет транспонирленген матрица бастапқы матрицаға сәйкес
;
2. транспонирленген матрицалардың қсындысы ол матрицалардың
қосындыларының транспонирленуіне тең.
;
3. матрицалардың көбейтінділерінің транспонирленуі оларды керісінше
орналастырып, транспонирленген көбейтінділеріне тең.
Егер матрицасы шаршылы (квадратты болса), онда
матрицасы өзінің транспонирленген матрицасына тең болса онда ол матрица
. (2)
(2) – теңдіктен мыдай тұжырымдар шығады. Біріншіден, симметриялық матрица
Бұл айтылғандардан
екенін көреміз. Себебі
Мысал.
II – Бөлім МАТРИЦАЛАР АЛГЕБРАСЫНЫҢ АМАЛДАРЫ
2.1 Кері матрица
1 – ші анықтама. Берілген матрицаға кері матрица
(3)
Мұндағы – бірлік матрица. Берілген матрицаға кері
2– ші анықтама. Егер шаршы матрицаның анықтауышы нөлден өзгеше
Т е о р е м а. Кез –
Д ә л е л д е у і.
Бұл матрицаның анықтауышын нөл емес дейік, яғни
Осы матрица үшін тіркеме немесе одақтас матрица құрайық.
(4)
Мұндағы – дегеніміз –дің сәйкес
Алгебралық толықтауыштар (4) – өрнекте транспонирленіп орналасқанына көңіл
(5)
Соңғы (5)– ші өрнек –ға кері
және
,
мұндағы
.
Осындай қасиеттерді ескере отырып, көбейтіндісін
Сонымен екенін дәлелдедік. Енді нақты мысал
матрицасына кері матрицаны табу керек.
Ш е ш у і. Алдымен анықтауышы
Демек матрицасы ерекше емес.
Тіркеме матрицаны құрайық.
Бұл матрицаның барлық элементтерін –ге бөлсек,
2.2 Матрицаның абсолютті шамасы және
Матрицаның нормасы оның абсолюттік шамасы (модулі) түсінігімен тікелей байланысты.
Бірдей типтегі және
болса, онда
Бұл жағдай кез – келген екі матрицаны өзара салыстыруға
матрицасының абсолют шамасы (модулі) деп
ді айтамыз. Мұндағы дегеніміз
Егер және матрицалары үшін
а) ;
б) ;
в) , ( – сан);
г) , ( – натурал
матрицасының нормасы дегеніміз төмендегі шарттарды қанағаттандыратын
а) , егер
б) , ( – сан);
в) ;
г) ;
д) ;
Шаршы матрица үшін , ( – натурал
;
егер болса, онда ;
скалярлық матрицасы үшін ;
егер болса, онда , дербес
Кез – келген типтегі матрицасы үшін
1. ( –норма);
2. ( –норма);
3. ( –норма)
М ы с а л. матрицасының
–ның ( – векторының)
үшін
;
;
2.3 Матрицаның рангысы
Мынадай тік бұрышты матрицаны қарастырайық.
Осы матрицадан кез–келген жолмен жатық жолдар
А н ы қ т а м а. Матрицанының
Басқаша айтқанда матрицасының
1. кем дегенде нөлден өзге –ші ретті
2. матрицасының және
Нөлдік матрицаның, яғни барлық элементтері нөлден тұратын матрицаның
рангысы нөл деп аталады.
Жоғарыдағы матрицаның өлшемдерін көрсететін және
Матрицаның рангысын табу үшін мынадай ережелерге сүйенген пайдалы:
1. минорды ең кіші бірінші ретінен бастап, жоғарғы реттеріне
2. реті болатын нөлден өзге
1–ші м ы с а л.
Ш е ш у і.
Енді бастапқы матрицаның екінші, үшінші жатық жолдарымен бірінші, екінші
Демек бастапқы матрицаның рангысы кем дегенде екіге тең.
Матрицаның рангысын түрлі минорларын есептемей де табуға болады. Ол
1. екі қатарды немесе екі тік жолды өзара орын
2. қатарды немесе тік жолды нөлден өзге кез –келген
3. бір жолдағы элементтерді нөлден өзге бір санға көбейтіп
Нәтижесінде диагоналдағы нөл емес сандардың саны матрицаның рангысын көрсетеді.
2–ші м ы с а л.
Ш е ш у і. Бұл матрицаның бірінші екінші
Бірінші тік жолды –ге көбейтіп, үшінші тік
Енді бұл матрицаны екінші жолдан бастап төмен қарай түрлендіреміз.Бірінші
Енді бірінші тік жол мен бірінші жатық жолды өзгертпей,
2. екінші қатарды –ке көбейтіп, үшінші жолға
3. екінші тік жолды –ке көбейтіп, үшінші
Соңғы матрицаның түрі диагоналдық. Басты диагоналындағы бір деген сандардың
3–ші м ы с а л.
Ш е ш у і. Сол жақ бұрышындағы екінші
минорын қоршаған төртінші ретті екі минор да нөлге тең:
;
.
Сонымен берілген матрицаның рангысы үшке тең де, кемістігі 4
2.4 Үшбұрышты матрицалар
А н ы қ т а м а. Үшбұрышты
Мысалы,
,
бұл жерде болғанда
Бұл өрнектерге қарағанда диагоналдық матрица үшбұрышты матрицаның дербес жағдайы
Үшбұрышты матрицаның диагоналындағы элементтер арасында тым болмағанда бір нөлдік
1. Элементтерінің мәндері әртүрлі екі жоғарғы үшбұрышты матрицаны қоссақ
2. Үшбұрышты матрицаға кері матрица да құрылымы дәл сондай
1 – ші м ы с а л.
Ш е ш у і. Ізделініп отырған әзірше белгісіз
және матрицаларын өзара көбейтейік
Кері матрица ережесі бойынша бурілген матрицаны өзінің кері матрицасына
Демек
Енді екі матрицаның элементтерін мүшелеп теңестіреміз.
, ,
,
,
Бұл теңдеулерден белгісіз –лерді біртіндеп табамыз.
, , ,
, , .
Олай болса ізделініп отырған кері матрица –ның элементтері
Сонымен
Берілген матрицасы мен соңғы шыққан
Байқасаңыз бұл мысалда бастапқы матрицның өзі үшбұрышты матрица. Ал
Т е о р е м а. Басты диагоналдық
; ; ...
кез – келген шаршы
матрицасын түзілімдері әртүрлі жоғарғы және төменгі екі үшбұрышты матрицалардың
Бұл теореманың дәлелдеуін келтірмей–ақ, үшбұрышты матрицаларды табудың әдісін келтірейік.
Сонда
, (6)
мұндағы
(7)
– ші ретті төменгі үшбұрышты матрица.
Сол сияқты
(8)
Бұл матрицаларды (6) –шы формула бойынша көбейтіп, нәтижесін алгоритмдік
(9)
Соңғы (9) жүйе (7) –ші және (8)
( )
және
( )
Соңғы ( ) және ( ) өрнектердің
2 – ші м ы с а л.
және матрицаларының көбейтінділеріне жіктеу керек.
Ш е ш у і.
. (10)
мен –ні мына түрде іздейміз
және
–ның мәнін және мен
Бұдан оң жағындағы толық матрицаның әрбір элементін сол жағындағы
, ,
, , ,
, , .
Бұл теңдеулерден біртіндеп белгісіздер – лар мен
, ,
, , ,
, , .
Сонымен
және
Енді бұл түрлендірулерден кері матрица –
бұдан
(11)
Үшбұрышты матрицадан кері матрицаны табу оңай, оны біз осының
2.5 Анықтауыштарды есептеу
Анықтауыш екі түрлі терминмен аталады, үш түрлі белгімен белгіленеді.
– ші ретті шаршы матрицаның нақты немесе комплексті
қосындысын айтады. Осы айтылғанды анықтауышты есептеудің жалпы формуласы түрінде
( )
Мұндағы дің мағынасы жатық жол немесе
Егер , яғни
Бұлардағы
2 – ші ретті анықтауышты есептеу:
,
3 – ші ретті анықтауышты есептеу:
(12)
Екінші ретті анықтауышты ауызша да есептеуге болатыны көрініп тұр.
Төртінші ретті анықтауышты қосындыларға жіктеп, алгебралық толықтауыштарын есептеу үшін
(13)
Келесі 5–ші, 6–шы, әрі қарай ші
4 – ші ретті анықтауышты есептеу
Бұл анықтауышты есептеу үшін оны алдымен (13) –
Айтылған ережелерді нақты мысалға қолданып төртінші ретті анықтауышты есептейік.
М ы с а л.
матрицасының анақтауышын есептеу керек.
Ш е ш у і. матрицасының
Бірінші жатық және бірінші тік жол арқылы жіктейік. Ол
Енді бірінші жатық жолмен екінші тік жол арқылы жіктейміз.
Дәл осылай үшінші тік жол арқылы жіктейік. Бұл жолғы
Енді соңғы төртінші тік жол арқылы жіктейік. Бұл жолғы
Бастапқы матрицасының анықтауышы =
, , , –тарды жоғарыдағы үшінші
Демек =72 – 2 – 50 +
Енді осы анықтауышты бірінші тік жол бойынша жіктеп есептеуді
Анықтауыштарды көбейту ережесі: ші ретті екі
,
,
,
.
ҚОРТЫНДЫ
Дипломдық жұмыста матрицаның ұғымы мен негізгі түсініктері кеңінен
Екінші бөлім матрицалық амалдарға арналды. Бұл жерде негізгі амалдың
Пайдаланылған ӘДЕБИЕТТЕР
1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.,
1970. 664 с.
2. Калиткин Н.Н. Численные методы. М., Наука, 1978. 512
3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике
М., Наука, 1978, 720 с.
4. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.,
5 Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной
Физматгиз, 1960, глава II.
ПЛАКАТТАРЫ
I – Бөлім МАТРИЦАЛАР АЛГЕБРАСЫНЫҢ НЕГІЗГІ
1.1 Матрица ұғымы. Негізгі түсініктер.
Нақты немесе комплексті (түбір астында теріс сандар)
(1)
Индекстерді қысқаша деп белгілесек, мынадай
Егер болғанда болса
Егер оның диагоналындағы элементтердің мәні 1 – тең болса,
Соңғы матрицаны Кронекер символы арқылы былай да жазуға
Немесе
Бұдан мынадай теңдіктер шығады.
Нөлдік матрица ұғымы. Барлық элементтері нөлден тұратын, өлшемі
Келесі бір анықтама – матрицаның анықтауышы деген ұғыммен байланысты.
Сондай – ақ былай деп те белгіленеді
Шындығында соңғы түрдегі символ тым сирек қолдданылады.
Матрица түрлері әртүрлі болып келеді. Мәлімет ретінде олардың кейбір
1. Сирек толтырылған матрица 2. Диагоналдық матрица 3.
11.Үш диагоналдық матрица
14. Төменгі үшбұрышты матрица 15. Эрмиттік
17. Транспонирленген матрица
21. Тік бұрышты матрица
матрицалар
27. Шексіз матрица
31. Қалыпты матрица (нормальная)
34. Ортогоналдық матрица тағы сол сияқты. Біз бұл
Мономиалдық матрицада әрбір жатық жолы мен әрбір тік жолында
3. Қосуға байланысты мынадай қасиеттер бар:
; ;
4. Матрицаны санға көбейту
; ;
; ;
Мұндағы – сандар. Егер
– қарама –қарсы матрица деп аталады.
.
1 – мысал.
2 – мысал.
Бұрынғы оқулықтарда матрицаға да векторға да бір ғана
Ережелер:
1. 2.
4. Үшінші жолдағы
, болсын. Сонда бұлардың көбейтінділері мынадай болады.
Демек бұдан екенін көреміз. Сондай –ақ
, Екеуі
Анықтама. Егер шаршы матрицаның анықтауышы нөлден өзгеше сан болса
Бұл матрицаның анықтауышын нөл емес дейік, яғни
(4)
Мұндағы – дегеніміз –дің сәйкес
Алгебралық толықтауыштар (4) – өрнекте транспонирленіп орналасқанына көңіл
(5)
Соңғы (5)– ші өрнек –ға кері
және ,
Осындай қасиеттерді ескере отырып, көбейтіндісін
Сонымен екенін дәлелдедік. Енді нақты мысал
матрицасына кері матрицаны табу керек.
Ш е ш у і. Алдымен анықтауышы
Демек матрицасы ерекше емес.
Тіркеме матрицаны құрайық.
Бұл матрицаның барлық элементтерін –ге бөлсек,
Матрицаның абсолютті шамасы және нормасы
Кез – келген типтегі матрицасы үшін
1. ( –норма); 2.
3. ( –норма)
М ы с а л. матрицасының
–ның ( – векторының)
үшін
Үшбұрышты матрицалар
А н ы қ т а м а. Үшбұрышты
Мысалы,
,
бұл жерде болғанда
Бұл өрнектерге қарағанда диагоналдық матрица үшбұрышты матрицаның дербес жағдайы
Үшбұрышты матрицаның диагоналындағы элементтер арасында тым болмағанда бір нөлдік
1. Элементтерінің мәндері әртүрлі екі жоғарғы үшбұрышты матрицаны қоссақ
2. Үшбұрышты матрицаға кері матрица да құрылымы дәл сондай
М ы с а л.Берілген үшбұрышты матрицасына кері
Ш е ш у і. Ізделініп отырған әзірше белгісіз
және матрицаларын өзара көбейтейік
Кері матрица ережесі бойынша бурілген матрицаны өзінің кері матрицасына
Демек
Енді екі матрицаның элементтерін мүшелеп теңестіреміз.
, ,
,
,
, , ,
Олай болса ізделініп отырған кері матрица –ның элементтері
Сонымен
Берілген матрицасы мен соңғы шыққан
Байқасаңыз бұл мысалда бастапқы матрицның өзі үшбұрышты матрица. Ал
Т е о р е м а. Басты диагоналдық
; ; ...
кез – келген шаршы
матрицасын түзілімдері әртүрлі жоғарғы және төменгі екі үшбұрышты матрицалардың
М ы с а л. Берілген шаршы
–ның мәнін және мен
Бұдан оң жағындағы толық матрицаның әрбір элементін сол жағындағы
, ,
, , ,
, , .
Бұл теңдеулерден біртіндеп белгісіздер – лар мен
, , ,
, , .
Сонымен
және
Енді бұл түрлендірулерден кері матрица –
бұдан
Үшбұрышты матрицадан кері матрицаны табу оңай, оны біз осының
38
