Интегралдар курстық жұмыс
МАЗМҰНЫ - www.topreferat.com.kz
:
Кіріспе
Негізгі бөлім
Тікбұрышты координаталармен берілген екі еселі интеграл
Үш еселі интеграл
Қисық сызықты интегралдар
Екі еселі және үш еселі интегралдардың физикада және техникада қолданылуы
Қисық сызықты интегралдарды пайдаланып физикада қолданылуы
Қорытынды
Пайдаланылған әдебиеттер
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Жұмыс көлемі: 47 бет
Пәні: Басқа тақырыптағы курстық жұмыстар
-----------------------------------------------------------------------------------
КУРСТЫҚ ЖҰМЫСТЫҢ ҚЫСҚАРТЫЛҒАН МӘТІНІ
Мазмұны:
Кіріспе
Негізгі бөлім
Тікбұрышты координаталармен берілген екі еселі
Үш еселі интеграл
Қисық сызықты интегралдар
Екі еселі және үш еселі интегралдардың физикада және
Қисық сызықты интегралдарды пайдаланып физикада қолданылуы
Қорытынды
Пайдаланылған әдебиеттер
К і р і с п е
ҚазақстанРеспубликасының Президенті Н. Ә. Назарбаев 2008 жылдың 6
Бірінші. Білім және ғылым министрлігі үш жылдың ішінде
Екінші. Үкіметке, мемлекеттік холдингтерге облыстардың, Астана жіне Алматы
Осы тұрғыда болашақ математика пәнінің мұғалімдерін даярлау үшін
Нақты мысалдарға тоқталайық:
1-мысал.
z = (1/2)(x2+y2), (0≤z≤1) формуласымен берілген, тығыздығы
Шешуі:
М = ∫s∫ μ(x, y, z)dS,
Формуланы пайдаланып, мынаны аламыз:
М = ∫s∫ zdS.
S бетінде z = 1/2*(x2+y2) теңдігі орындалады.
dS = √Ҝ(1+x2+y2) dxdy,
осы формуланы және жоғарыдағыны ескере отырып, беттік интегралды
2π √2
М = (1/2) ∫dφ∫ρ3(√1+ρ2)dρ = π∫ ρ3(√1+ρ2) dρ.
0 0
1+ρ2 = t2 деп алмастыру енгізе отырып,мынаны
√3
М = π∫t2(t2-1)dt = π(t5/5-t3/3)| = 9π(6√3+1)/15.
1
2-мысал.
Тығыздығы М(х,у,z) әр бір нүкте тығыздығы z/a тең.
Шешуі:
(1) формула бойынша
М = (1/а) ∫∫zds,
S
мұндағы, S- берілген жарты сфера.
Жарты сферада мынадай теңдеулер орындалады:
z=√a2-x2-y2, ds=adxdy/(√a2-x2-y2),
және ол Oxy жазықтығындағы x2+y2≤a2 шеңберіне
Осыған байланысты, беттік интегралды 2 реттіге алып келіп,
М = ∫ ∫ dxdy = πa2.
x2+y2≤a2
3-мысал.
Координаттық жазықтығына қатысты х+у+z=a, (x≥0, y≥0, z≥0) бірқалыпты
Шешуі:
Ауданы dS болатын пластинка элементінін Oxy жазықтығына байланысты
Пластинка элементінің осы жазықтықтан ара қашықтығы, dS=√3
dMOxy = zdS = (a-x-y)dS = (a-x-y)√3 dxdy
Пластинканың барлық элементтерін қосу арқылы мына формулаға келеміз:
MOxy=∫ ∫(a-x-y)dS=√3 ∫ ∫ (a-x-y)dxdy,
S
Мұндағы, D={0≤x≤a, 0≤y≤a-x}- Oxy жазықтығына түсірілген пластинканың проекциясы.Екінші
a a-x
MOxy= √3 ∫ dx ∫ (a-x-y)dy = (√3/2)∫
0 0
Симметрияның ұғымы бойынша, мына теңдіктер орынды болады:
MOyz = MOxz = MOxy =a3/2√3.
4-мысал.
Oz осіне қатысты тығыздығы өo-ге, x2+y2+z2=a2, (z
Шешуі:
Iz= ∫ ∫ (x2+y2)ө(x, y, z)dS,
S
Iz=өo ∫ ∫ (x2+y2)dS,
S
мұндағы, Iz – Oz осіне қатысты
dS=adxdy/√(a2-x2-y2),
теңдігіне сүйене отырып, беттік интегралды екінші реттіге айналдыра
Iz=өoa ∫ ∫ (x2+y2) dxdy /√(a2-x2-y2).
x2+y2≤a2
полярлық координатарға өте отырып, табатынымыз,
2π a
Iz == өoa ∫dφ∫ ρ3dρ/√(a2-ρ2) = 2πөoa(ρ2√(a2-ρ2)|+2∫ρ√(a2-ρ2)dρ)=
0 0
a
(4/3)πөoa (a2-ρ2)3/2| = 4 πөoa4/3.
0
5-мысал
(x2/a2)+(y2/a2)-(z2/b2) = 0 (0 ≤ z ≤ b)
Шешуі:
Берілген түзу Ox осіне параллель, Oxy жазықтығында жатады
r2 = x2 + y2 + (b-z)2
ал берілген түзуге қатысты алынған элементтін инерциялық моменті
өor2dS.
Ізделінді инерция моментін I деп алып, мына формулаға
I=өo ∫ ∫ (x2+y2+(b-z)2)dS.
S
z = (b/a)√x2+y2,
I = өo√(a2+b2)/a ∫ ∫ (x2+y2+b2((1-(√x2+y2/a))2)dxdy.
x2+y2≤a2
полярлық координаттарға өте отырып, соңынан табатынымыз:
2π a
I=өo√a+b/a ∫ dφ∫ (ρ2+b2(1-ρ/a)2)ρdρ =
0
а
(2πµo√a2+b2)/a ∫(ρ3(1+(b2/a2))+b2ρ-(2b2ρ2/a))dρ =
0
=((2πөo√a2+b2)/a)(a4/4(1+(b2/a2))+(a2b2/2)-(2a2b2/3))=
(πөo/6)(a√a2+b2)(3a2+b2).
Тікбұрышты координаталармен берілген
екі еселі интеграл
Айталық, функциясы хОу жазықтығының D
функциясы үшін D облысы бойынша интегралдық қосындысы деп
(1)
Егер maxdk→0 ұмтылғанда интегралдық қосындының D облысын элементар
(2)
онда бұл шек D облысындағы
(3)
Ескерту. Егер D облысында >0 болса,
Екі еселі интегралдың негізгі қасиеттері
10.
20. мұнда с-тұрақты сан.
30. Егер D интегралдау облысы D1 және D2
40. Екі еселі интегралды бағалау. Егер
Екі еселі интегралдарды есептеу ережелері
Интегралдау облысының негізгі екі түрі болады.
1. D интегралдау облысы сол жақтан және оң
Мұндай облыс үшін екі еселі интеграл келесі формула
және де алдымен ішкі интеграл
2. D интегралдау облысы төменнен және жоғарыдан у=с
Мұндай облыс үшін екі еселі интеграл келесі формула
және де алдымен ішкі интеграл
Көрсетілген формулалардың оң жақтары қайталанбалы интегралдар деп аталады.
Мысалдар:
1. D облысы тікбұрышы болғанда
Шешуі:
2. D облысы
Шешуі:
2.2 Үш еселі интеграл
Айдалық, функциясы шектелген тұйық
функциясы үшін Т облысы бойынша интегралдық қосындысы деп
Интегралдық қосындының
Бұл түрдегі ақырлы шек тек қана шектелген функция
Егер Т облысында
Үш еселі интегралдың негізгі қасиеттері екі еселі интегралдың
Декарттық координаталарда үш еселі интеграл келесі түрде болады:
Айталық, Т интегралдау облысы
Сонда функциясынан
Егер үш еселі интегралды есептегенде x, y, z
Онда келесі формуланы пайдалану керек:
Дербес жағдайда x, y, z декарттық координаталардан осы
x, y, z декарттық координаталардан осы координаталармен
Мысалдар.
№ 1. Т облысы
Шешуі:
Қисық сызықты интегралдар
1.Доғаның ұзындығы бойынша қисық сызықты интеграл.
Айталық, функциясы К жатық
АВ доғасын кез келген әдіспен A=A0, A1, .
функциясы үшін АВ доғасының ұзындығы бойынша интегралдық қосындысы
функциясының АВ доғасының ұзындығы бойынша қисық сызықты интегралы
( -доғаның дифференциалы).
Егер қисық теңдеуімен берілсе,
мұнда - қисыққа жүргізілген жанама мен
Егер К қисығы параметрлік теңдеулерімен
Дәл осылай кеңістік қисық бойынша
Егер болса, онда
Егер болса, онда
І текті қисық сызықты интегралдың негізгі қасиеттері:
10. І текті қисық сызықты интеграл интегралдау жолының
20.
30.
40. Егер интегралдау контуры К1 және К2
2.4 Екі еселі және үш еселі
Егер тығыздық нүктенің функциясы болса,
формуласы бойынша есептеледі.
Жазық облыстың координаталық осьтерге сай статикалық моменттері
Формулалары бойынша табылады.
Жазық (D) облысының координаталық осьтерге сай инерциялық
моменті:
формулалары бойынша табылады.
Координаталар басы О(0;0)-ға сай инерциялық моменті:
-ке тең
Кейбір түзуге симметриялы орналасқан жазық облыстың центрін іздегенде
4. Жабық қисығымен шенелген
Шешуі: берілген қисықты салу үшін берілген функцияны зерттейміз.
Берілген қисықтың координаталар осьтерімен қиылысу нүктелерін табамыз.
Ох осімен:
Оу осімен:
Енді берілген қисықтың мінезін туындының жәрдемімен зерттейміз:
Бұл туындыдан х=0 болғанда екенін
х = а болғанда демек
Табылған нәтижелер қисықты салуға жеткілікті.(42-сурет).
әуелі берілген жазық фигураның ауданы S-ты табамыз:
Берілген ауданның ауырлық центрі былай табылады:
Сөйтіп, берілген ауданның ауырлық центрі
5. дөңгелегі жартысының диаметрге сай
Шешуі: есеп берілген жарты дөңгелектің Ох осіне сай
Мұнда жұп функцияның интегралының қасиеті пайдаланылды. Екі еселі
Екі еселі интеграл астында айнымалыларды ауыстырғанда
болады.
6. Қабырғалары a мен b-ге тең тік төртбұрыштың
Шешуі: тік төртбұрышты 44-суретте көрсетілгендей етіп орналастырамыз. Сонда
7. Айналу параболоиды цилиндр
Шешуі: көлемін табу талап етіліп отырған дене 47-суретте
Берілген дененің жазықтығына
Айнымалы х-тің 0≤х≤2а кесіндісіндегі мәнін бекітсек, х-тің
Бекітілген х пен у те нүкте тек вертикаль
Үш еселі интегралды қайталама интегралдармен ауыстырсақ, берілген дененің
Шыққан интегралды поляралық
болады.
интеграл астындағы функция болады, поляаралық
(куб. бірлік) болады.
Ендеше, барлық көлем мұнан екі есе үлкен, яғни
Егер (V) денесінің тығыздығы облыс
формуласымен анықталады.
8. Kоординаталық жазықтықтар және x+y+z=1 жазықтығымен шенелген (шектелген)
Шешуі: массасы ізделінетін дене 49-суретте кескінделген. Бұл дененің
Айтылғандарды ескеріп, берілген дененің массасын табамыз, ол:
9.
Шешуі: егер дене бір текті, яғни оның тығыздығы
формулалары бойынша табылады.
Ауырлық центрі ізделістегі берілген дене 50-суретте кескінделген.
Әуелі бұл дененің көлемін табамыз. Ол
(куб. бірлік).
Енді ауырлық центрінің координаталарын табу үшін қажет үш
Шыққан нәтижелерді және жоғарыда жазылған формулаларды пайдаланып, ауырлық
Сөйтіп, берілген қиық призманың ауырлық центрі
Екі еселі интегралдың физикада қолданылуы
Егер пластинка хОу жазықтығының D облысын алып жатса
Пластинканың Ох және Оу осьтеріне қатысты статикалық моменті
Пластинка біртекті болғанда .
Пластинканың ауырлық центрінің координаталарын келесі формулалар арқылы есептеуге
мұнда М – пластинканың массасы, ал Мх, Му
Пластинка біртекті болса, онда бұл формулалар келесі түрде
мұнда S – D облысының ауданы.
Пластинканың Ох және Оу осьтеріне қатысты инерция моменттері
ал координаталар бас нүктесіне қатысты инерция моменті келесі
Бұл формулаларда деп алсақ, жазық
Мысалдар:
1. у2=4х+4, у2=-2х+4 сызықтарымен шектелген фигураның
Шешуі: фигура Ох осіне қатысты симметриялы болғандықтан,
Берілген фигураның ауданын табамыз:
Сонда
2. эллипсімен және оның
Шешуі: сегменттің ауданын табамыз:
Сонда
3.
Шешуі: координата бас нүктесіне қатысты иенрция моменті төмендегідей
4.
Шешуі:
2. Координаталар бойынша қисық сызықты интеграл (ІІ текті
Айталық, және
және функциялары үшін координаталар
мұнда және
өрнегінен координаталар бойынша бағытталған АВ доғасының бойымен алынған
- х координатасы бойынша қисық сызықты интеграл;
- у координатасы бойынша қисық сызықты интеграл;
- толық қисық сызықты интеграл.
ІІ текті қисық сызықты интеграл
ІІ текті қисық сызықты интегралдың негізгі қасиеттері
10. ІІ текті қисық сызықты интеграл интегралдау
20.
Басқа қасиеттері І текті интегралға сәйкес болады.
ІІ текті қисық сызықты интеграл төмендегі формула бойынша
Егер К қисығы параметрлік теңдеулермен
Дәл осылай кеңістік қисық К бойынша ІІ текті
Дәл осылай кеңістік қисық К бойынша ІІ текті
Тұйық контур бойынша қисық сызықты
Егер интегралдау жолы (С) жәй тұйық сызық болса,
Мысалдар
1. К – түзудің А(0;0)-дан В(4;3)-ға дейінгі
Шешуі: АВ түзуінің теңдеуі у=(3/4)х болады. у'=3/4, демек
2. Егер болса,
Шешуі:
2.5 Қисық сызықты интегралдарды пайдаланып физикада қолдану
Қазақстан Республикасының білім беруді дамытудың 2005-2010 жылдарға арналған
Нақты мысалдарға тоқталайық.
1-мысал. (х;у) нүктесінде
Шешуі: төмендегі формуланы пайдаланамыз:
Есепті шешу үшін І-типті қисық сызықты интегралды есептейік.
2-мысал. Параболаның
1-тәсіл.
Шешуі:
.
Параболаның әрбір нүктесі Ох осіне симметриялы және қарастырып
Жауабы:
2-тәсіл.
Шешуі: доғаның дифференциалын мына түрде жазайық:
3-мысал. А(0;а) нүктесінен В(в;һ) дейінгі
Шешуі: ол үшін төмендегі формуланы пайдаланамыз:
Енді қисықтың массасының сандық мәнін тауып алу керек.
онда
Қисық біртекті, сондықтан жоғарыдағы формула бойынша
4-мысал. Тығыздық заңдылығымен
Шешуі:
Есептің шарты бойынша
5-мысал.
Шешуі: қисықтың массасын табу үшін доғаның дифференциалын есептеу
Қисықтың біртекті екенін ескеріп, оның массасының мәнін есептейік:
Енді ауырлық центрінің координатасын табамыз:
2.7 Стокс және Остроградский-Гаусс формулалары.
Өріс теориясы
Егер
мұнда
Егер
мұнда
Егер V облысының әрбір М нүктесінде
Декарттық координаттар системасында скалярлық өрістің берілу үш айнымалыдан
ал векторлық өрістің берілу – үш айнымалыдан
мұнда
Векторлық сызық деп әрбір М нүктесіндегі бағыты осы
скалярлық өрісінің градиенті деп келесі векторды айтады:
векторлық өрісінің дивергенциясы деп келесі скаляр шаманы айтады:
векторлық өрісінің құйыны (ротор) деп келесі скаляр шаманы
Бағыты S бетінің нормалінің бірлік векторы
мұнда - векторлық өріс пен
векторынан К бағытталған қисығы бойынша алынған сызықтық интеграл
Егер С – тұйық болса, онда сызықтық интеграл
векторлық өрісінің С контуры бойымен айналымы (циркуляциясы) деп
Остроградский-Гаусс формулалары формуласы векторлық түрде былай жазылады:
яғни вектор өрісінің дивергенциясының
Стокс формуласы векторлық түрде
яғни вектордың қандай да бір S бетін шектейтін
Гамильтон операторы (немесе набла-оператор) деп аталатын символикалық вектор
Онда вектордың қасиеттері мен бірге дифференциалдық оператордың қасиеттері
Егер болса, онда
Егер яғни егер
Егер яғни V өрістің
болатындықтан құйын өрісі соленоид тәрізді болады.
Мысалдар
№ 1. С - шеңбері
Шешуі: берілген С контуры z=0 жазықтығының нормалінің бірлік
екенін ескерсек, Стокс формуласы бойынша келесі өрнекті аламыз:
болғандықтан, соңғы интеграл мына түрге келеді:
мұнда D жазық облысы
№ 2. S бетімен шектелген дененің осы бет
Шешуі: Остроградский-Гаусс формулалары формуласы бойынша:
мұнда V – дененің көлемі.
№ 3. Остроградский-Гаусс формулалары формуласын пайдаланып, S тұйық
Шешуі: берілген интегралды былай жазуға болады:
ал соңғы интеграл Остроградский-Гаусс формуласы бойынша
болады. Демек,
мұнда
символы Лаплас операторы деп аталады.
№ 4. вектор
Шешуі: анықтама бойынша:
№ 4. скалярлық
Шешуі: болғандықтан,
немесе яғни
(Лаплас операторы набла-оператордың квадратына тең).
№ 5. Әрбір нүктесінде кулон заңы бойынша
Шешуі:
және болғандықтан,
№ 6. радиус-векторының
Шешуі: берілген вектор өрісінің дивергенциясын табамыз:
Ізделінді ағынды Остроградский-Гаусс формуласы бойынша табамыз (есептеу кезінде
№ 7. Егер координата бас нүктесі
Шешуі: векторының цилиндр бетінің сыртқы
радиус-векторының цилиндрдің табанына жүргізілген сыртқы нормалі бағытындағы проекциясы
Радиус-вектордың бүйір бетке жүргізілген нормаль бағытындағы проекциясы цилиндрдің
Сонымен, векторының цилиндрдің сыртқы жағы
№ 8. радиус-векторынан
Шешуі:
Бұл шама векторының винттік сызықтың
№ 9. векторының
Шешуі: айналымның анықтамасы бойынша
№ 10. векторлық өрісінің MNP
Шешуі: Стокс формуласына сәйкес
Мұнда С бетілген үш нүкте арқылы өтетін 3х+у+6z=0
Демек,
яғни Ц= - 5.
№ 11. Дене
Шешуі: мұнда
және де
яғни, нүктенің жылдамдығының құйыны
№ 12.
Шешуі: 1 – т ә с і л.
2 – т ә с і л.(Стокс формуласын
ал контурды оң бағытта айналуды қамтамасыз ететін нормаль
№ 13.
Шешуі: берілген вектор өрісі бір байланысты облыс болатын
потенциалын келесі формула бойынша есептейміз:
яғни
Мұнда бас нүкте ретінде М0(0;0) нүктесі алынған.
№ 14. Ньютонның тарту өрісінің потенциалын
Шешуі: Айталық, массасы m нүкте координата бас нүктесі
Ньютон өрісінің роторы нөлге тең болғандықтан, ол потенциалды
Осы жазық өрістің потенциалын табамыз:
мұнда
Қосымша жаттығулар
1.
2. кардиоидасымен шектелген
3. параболасының
4. қисығының бір
5. параболаларымен шектелген
6. параболасымен және
7. сызықтарымен шектелген
8. сызықтарымен шектелген ауданның
9. түзулерімен шектелген ауданның
10. сызықтарымен шектелген
11. эллипсінің ауданының
12. беттерімен шектелген
13. жазықтығымен
14. Егер нүктесіндегі
15. жазықтықтарымен шектелген дененің ауырлық
16. жазықтықтарымен шектелген дененің
17. жазықтықтарымен және
18. кубының оның қабырғасына
19. нүктесіндегі сызықтық тығыздығы
20. қисығының біртекті
21.
22. Егер
23. Егер
24. бетінің хОу
25. болғанда
26. S -
Жаттығулар
С – x2 + y2 + z2 =
x2 + y2 + z2 = a2
S - x2 + y2 + z2 =
S - x2 + y2 + = a2
вектор өрісінің S үшбұрышының x+y+z-1=0
Қ о р ы т ы н д
Математика ғылымы саясатты зерттейтін ғылым емес екені белгілі.
Бұл бағытта істелінетін жұмыстарды болашақ мұғалімдерді даярлауда басшылыққа
Бұл арқылы біз білімнің бір-бірімен сабақтастығын, пән аралық
Пайдаланылған әдебиеттер:
Темірғалиев Н. “Математикалық анализ” - Алматы; Мектеп 1987,
Ибрашев Х. И., Еркеғұлов Ш. Т. “Математикалық анализ
Кудрявцев А. Д. “Краткий курс математического анализа.” –
Фихтенгольц Г. М. “Основы математического анализа.” – Москва,
“Задачник по курсу математического анализа.” Под редак.
Асинкин А. Г., Бутинов Е. И., Кондратьев А.
Демидович Б. П. “Сборник задачи и упражнений по
“Егемен Қазақстан” 16 қазан, 2004 жыл.
А. Г. Аленкин, Е. И. Бутиков, А. С.
Шойынбеков К. Д., Әбілқасымов А. Е., Есенова М.
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т.
46
у
х
0
z
n
o
n
n
x
y
r
M( )
z
y
x
z
O
M( )
z
y
x
z
O
