TOPREFERAT.COM.KZ - Қазақша рефераттар



МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ...........................

4

I ТАРАУ. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістері ......... 9

1.1. Векторлар мен матрицалардың нормалары............ 9

1.2 Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі............. 10

1.3 Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін

шешудің итерация әдісі............

11

1.4 Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін

Зейдель әдісімен шешу...........

13

1.5 Қалыпты жүйе жағдайы......................... 17

II ТАРАУ. Вариациялық типтегі итерациялық әдістер....…. 18

2.1 Кіріспе.....................………..….…………...…………………….. 18

2.2 Минимал ауытқу әдісі............…………………….... 18

2.3 Минималь түзету әдісі……………...………………………….... 25

2.4 . Жылдам түсу әдісі .............……………………...... 27

2.5 Түйіндестік градиент әдісі...................... 32

2.6 Қателік минимизациясы ........................

ҚОРЫТЫНДЫ.................. 33

36

ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ.........…………………………......…………………. 38

ҚОСЫМША........................... 39

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Жұмыс көлемі: 45 бет
Пәні: Соңғы қосылған дипломдық жұмыстар

-----------------------------------------------------------------------------------

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫСТЫҢ ҚЫСҚАРТЫЛҒАН МӘТІНІ


МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ...........................

4

I ТАРАУ. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістері
1.1. Векторлар мен матрицалардың нормалары............ 9

1.2 Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі............. 10

1.3 Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін

шешудің итерация әдісі............

11

1.4 Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін

Зейдель әдісімен шешу...........

13

1.5 Қалыпты жүйе жағдайы......................... 17

II ТАРАУ. Вариациялық типтегі итерациялық әдістер....…. 18

2.1 Кіріспе.....................………..….…………...…………………….. 18

2.2 Минимал ауытқу әдісі............…………………….... 18

2.3 Минималь түзету әдісі……………...………………………….... 25

2.4 . Жылдам түсу әдісі .............……………………...... 27

2.5 Түйіндестік градиент әдісі...................... 32

2.6 Қателік минимизациясы ........................

ҚОРЫТЫНДЫ.................. 33

36

ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ.........…………………………......…………………. 38

ҚОСЫМША........................... 39

КІРІСПЕ

Батыс Эвропаның ұлы ойшылы Бэкон Роджердің «Математика табиғат философиясының
Қазіргі қоғамның дамуы жоғарғы техникалық дәрежемен, өнеркәсіп құрылымын ұйымдастыруының
XXI ғасыр – жаңа технология мен ақпараттандыру ғасыры. Елбасымыз
Адамның барлық іс-әрекет саласында жуықтау есептерді шешу математикалық программалаудың
Практикада сызықтық программалаудың есептері жетік меңгеріліп, шешімнің алгоритмдері тұрғызылған.
Қай сала болсын өзінің даму тарихына шолу, мен үшін
Дипломдық жұмыс, Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістері деп
Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін

Ax=b (1)

түріндегі матрица ретінде қарастырып, бұл жүйенің бірінші теңдеуін x1-ге
(2)

Мұнда -матрица, -вектор ретінде қарастырылады.
. (3)

түрінде жазылады.

(3) формуласымен анықталатын тізбектеп жуықтау әдісі итерация әдісі болып
Зейдель әдісі итерациялық әдісінің модификациясы. Итерацияның Зейдель әдісі сандар
түріне келтіреміз.

Вариациялық типтегі итерациялық әдістерге минималь ауытқу әдісі, жылдам түсу
Оң анықталған симметриялы матрицаны қарастырады.

Ауытқуды арқылы белгілейді.
түріне жазамыз.

Минималь ауытқу әдісінде алгоритмі былай құрылады:

1. арқылы
2.
3. формуласынан хк+1 векторы есептеледі;

4. Егер дәлдігі берілсе, онда
Минималь түзету әдісін жүзеге асыру үшін әрбір итерациялық
Жылдам түсу әдісі жылдамдықпен жинақталуымен және қарапайым итерация әдісі
Түйіндестік градиент әдісі қос қадамды итерация әдісі болып табылады.

формуласымен өрнектеледі.

Қателік минимизацияның
.

теңдеуін аламыз. Әрбір n үшін көбірек
Дипломдық жұмыстың мақсаты сызықтық теңдеулер жүйесін шешу әдістерін зерттеу,
Дипломдық жұмыс кіріспеден, екі бөлімнен, қорытындыдан, қолданылған әдебиеттер тізімінен
Бірінші тарауда сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістері қарастырылған.
Бірінші параграфта сызықтық алгебрадағы векторлар мен матрицалардың нормаларының анықтамалары
Екінші тарауда вариациялық типтегі итерация әдісі қарастырылады. Екінші
Бірінші параграфта вариациялық типтегі итерация әдіске қысқаша мағлұмат беріледі.
Қортындысында қарастырылған әдістерге талдау жүргізіліп, сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің
Әдебиеттер тізімі дипломдық жұмысты орындауға пайдаланылған жұмыстардан тұрады.
Қосымшада 1 есепті итерацияның екі әдісімен қарастырып, Зейдель әдісімен
I ТАРАУ . Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін

шешу әдістері

Теңдеулер жүйесін шешу жолдары әдетте, дәл және итерациялық әдістер
1.1 Векторлар мен матрицалардың нормалары.

Анықтама. Х векторының нормасы-||X|| деп мына шарттарды қанағаттандыратын теріс
1) ||X|| >0 егер болса
2) ||cX||=|c| ||X|| , с-кез-келген
3) ||X+У|| Соңғы екі шарттан мына теңсіздікті алуға болады

||X-У|| > ||X||-||У||.

Шынында да ||X|| =||X+У-У|| Осыдан ||X|| - ||У|| Сызықтық алгебрада вектордың төмендегі үш нормасы жиі қолданылады:

1) (кубтық норма);

2) , (октаэдрлік норма);

3) (сфералық
Анықтама. Берілген А квадрат матрицаның нормасы-
1) егер және
2) ,

3) ,

4) .

Матрицаның нормасын әртүрлі жолдармен алуға болады.

Анықтама. Егер А матрицасы мен Х векторы үшін
Матрицаның М(А) нормасы вектордың кубтық, октаэдрлік, сфералық нормаларымен келісілген,
Шынында да, егер Х=(x1,x2,…,xn)' болса , онда

1. ,онда ,

2. , онда ,

Ақырында

3. , онда .

теңсіздігінен М(А) мен N(A) нормаларының вектордың сфералық нормасымен келісілгенін
Пайдаланылған әдебиетттер

1.2 Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (САТЖ).

Матрицалық түрде берілген сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі берілсін

, (*)

Жүйенің A матрицасы берілсін, жүйе ерекше емес болсын. Бұл
,
мұндағы - (*) жүйесінің шешімі,
Ал матрицаның абсолюттік және салыстырмалы қателігі:

,
формуламен беріледі.

Теорема (Берілген қателер бойынша шешімнің қателігін бағалау түрі).
,

мұндағы -(*) жүйесінің шарттылығының салыстырмалы саны.
Бұл шарттылық саны 10-нан үлкен болса, онда жүйе нашар
Пайдаланылған әдебиетттер

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін

шешудің итерация әдісі.

Сызықтық теңдеуінің айнымалылар саны көп болғанда тура жауап беретін
Матицалық түрде берілген

, (1.1)

сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі берілсін,

мұндағы

- (1.1) жүйенің коэффицентірінің матрицасы,

- оның бос мүшесінің бағаны,
Диагональдық коэффициенттер деп
, (1.2)

жүйесін аламыз. Мұндағы - элементі
(1.2) жүйесін тізбектеп жуықтау әдісімен шешеміз. Нөлдік жуықтау ретінде
. (1.3)

түрінде жазылады.

Егер , ,…, ,…
(1.3) формуласымен анықталатын тізбектеп жуықтау әдісі итерация әдісі деп
Итерация процесінің жинақталуының қажеттілік шартын келтірейік.

Теорема. Егер келтірілген (1.2) жүйесі үшін қандайда бір
Салдар. жүйесі үшін
Пайдаланылған әдебиетттер

1.4. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін

Зейдель әдісімен шешу.

Зейдель әдісі итерация әдісіне ұқсас. Итерацияның Зейдель әдісі қарапайым
Бұл күтулер берілген ереже бойынша жүреді, демек итерацияның Зейдель
Оның негізгі идеясы, белгісізінің (k+1)-ші жуықтауын
, ,…, белгісіздерінен
келтірілген сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін.

, ,…, ,

белгісіздеріне сәйкес

, ,…,

бастапқы жуықтауларды еркімізше таңдап алайық.

Одан әрі, k-шы жуықтауы белгілі
мұндағы .

Жоғарғы жинақтылық теоремасы бойынша Зейдель әдісі үшін де дұрыс.

Зейдель әдісінің алгоритмді кесте арқылы көрсетуге болады. Бұл кесте
А а11 а12 а13 а14

а21 а22 а23 а24

а31 а32 а33 а34

В I ― а12 а13 а14

II а21 ― а23 а24

III а31 а32 ― а34

(5) ―

(6) ―

(7) ―

(8)= (5)+ (6)+ (7)
(9) ―

(10) ―

(11) ―

(12)= (9)+ (10)+ +(11)
(13) … … …

Итерацияның Зейдель әдісіне мысал қарастырайық.

1Мысал Мына теңдеулер жүйесін Зейдель әдісімен шешейік:

10x1 + x2 + x3=12

2x1 + 10 x2 + x3=13

x1 + 2x2 + 10x3=14

Бұл есепті Зейдель әдісінің алгоритміне сәйкес кесте құрайық:

10 1 1 12

2 10 1 13

2 2 10 14

(1) ― – 0,1 – 0,1 1,2

(2) – 0,2 ― – 0,1 1,3

(3) – 0,2 – 0,2 ― 1,4

(4) 1,2 1,3 1,4

(5) ― – 0,186 – 0,186

(6) – 0,130 ― – 0,196

(7) – 0,140 – 0,140 ―

(8) – 0,270 – 0,326 – 0,382

(9) ― – 0,0014 – 0,0014

(10) 0,0326 ― – 0,0074

(11) 0,0382 0,0382 ―

(12) 0,0708 0,0368 – 0,0088

(13) ― – 0,0006 – 0,0006

(14) – 0,0037 ― 0,0003

(15) 0,0009 0,0009 ―

(16) – 0,0028 – 0,0015 0,0006

х 0,9980 1,0183 1,0095

Пайдаланылған әдебиетттер

1.5. Қалыпты жүйе жағдайы.

Анықтама.

, (1.4)

сызықты жүйені қалыпты деп атайды :

1) А – матрицасы симметриялы болса, онда
2) сәйкес квадратты форма -оң анықталған
(1) қалыпты жүйені белгілі әдіспен

, (1.5)

түріне келтіреміз.

Мұндағы , ,
Теорема 1. Егер (1.4) – сызықты жүйесі қалыпты болса,онда
(1.1) жүйені қалыпты түрге келтірудің бір әдісін көрсетейік
Теорема 2. матрицасы ерекше емес
Пайдаланылған әдебиетттер

II ТАРАУ. Вариациялық типтегі итерациялық әдістер.

2.1 Кіріспе

Өткен параграфта осындай жүйені шешудің итерация әдістерін қарастырдық.

(2.1)

Итерациялық параметрдің шешімі үшін А матрицасының өзіне меншікті мәндері
, (2.2)

параметрі қателіктің минимум шарттарынан шығатын
Пайдаланылған әдебиетттер

2.2. Минимал ауытқу әдісі.

, теңдеулер жүйесінен - оң
(2.3)

арқылы белгілейміз, теңдеудің ауыстыруымен бірге хk-нің
Айқын итерация әдісін қарастырайық

(2.4)

және (2.1) теңдігін еске ала отырып:

(2.5)

түрінде жазамыз.

Минималь ауытқу әдісі (2.4) итерациялық әдіс деп аталады, яғни
және, демек:

(2.6)

Сонымен ауытқуы , zk=xk-x қателігі
(2.6) теңдеуінің бөлімінің екі бөлімі де квадратқа скаляр,

(2.7)

теңдігін аламыз.

Бұл теңдіктен минимумына жететіні белгілі, егер
. (2.8)

Минималь ауытқу әдісінде -дан ( )-ші
(2.5), (2.8) минималь ауытқу әдісі мына жылдамдықпен және де
Теорема 1. А- симметриялы оң анықталған матрица.
ауытқу әдіснің қателігі үшін бағалауы орындалады.

,
бұдан
Дәлелденуі. (2.7) тепе-теңдігін қарастырамыз. Берілген
, (2.11)

теңсіздігін аламыз

демек

(2.12)

түрінде жазады.

§4 теоремаға сәйкес , сондықтан
(2.13)

немесе, тура солай, теңсіздік

түрінде жазады. Осыдан және (2.9) бағалануы
Ескерту. Теореманың дәлелденуін қолдана отырып , пайдалы теңсіздікті
(2.14)

симметриялы оң анықталған А матрицасы және
(2.13) теңсіздігін есепке ала отырып, мынаны аламыз

немесе

,

ауыстырсақ

,

теңсіздігімен сәйкес аламыз

(2.14) теңсіздігімен сәйкес келеді. Керісінше, егер (2.14) теңсіздігін тікелей
Айталық

, (2.15)

теңдеулер жүйесі берілсін, мұнда ,
Егер - (2.15) жүйесінің қандай да
, (2.16)

түрінде іздейміз. Мұнда - ауытқу,
Скаляр көбейтіндісін қарастырайық:

скаляр көбейтіндісі

, (2.17)

болғанда минималь мәнге ие болады.

(2.16) -ны (2.15)-ке қойсақ

, (2.18)

түріндегі минималь ауытқу әдісін аламыз.

Енді минималь ауытқу әдісінің алгоритміне тоқталып кетейін. Минимал ауытқу
1) табылған мәнімен
2) Мына формуладан

параметрі табылады. (егер (2.8) формуласымен
3) формуласынан
4) Егер дәлдігі берілсе, онда
Бекіту (2.17), (2.18) минималь ауытқу әдісі мына жылдамдықпен, яғни
Итерацияның минималь ауытқу әдісіне мысал келтірсек:

2-Мысал

Итерацияның ауытқу әдісімен тапсырма үшін екі қадамын қарастыру:

А = ,
Шешуі: А – матрицасы симметриялы,
1 қадам (к=0) 1) r0= Ax(0)
r0= *
2) (2.8) формуласынан итерацияның параметрін есептейік:
Ar0= =
( )=(0;-5) * =10;

Сонда

3) (2.5) формуласымен
4)

2-қадам

1) Ауытқуды табамыз

2) (2.8) формуланы пайдаланып табамыз:

Онда

3) (2.5) формуласынан екі жуықтауды табамыз;

4)
3-қадам

1) -
2)
Бұдан ;

3)

4)

Шешімі: екенін байқаймыз.

Пайдаланылған әдебиетттер

2.3. Минималь түзету әдісі

Айқын емес итерациялық (2.2) әдісті мына түрде жазып қоямыз

(2.19)

мұнда =Ax-f – ауытқу.
(2.20)

В-симметриялы оң анықталаған матрица деп ұйғарайық. Минималь түзету әдісі
.

B=E болған жағдайда минималь түзету әдісі минималь ауытқу әдісіне
Итерациялық параметрі үшін өрнекті табайық. Мына түрде
және шығарамыз

Бұдан шығатыны, минимальды болады, егер қойсақ

(2.21)

Минимальды түзету әдісін жүзге асыру үшін бізге әрбір итерацияның
Жылдамдықпен қосылу минималь түзету әдісінде меншікті мағынасына спектрдың
(2.22)

Теорема 2 А, В – симметриялы оң анықталған
(2.23)

бұдан

.

Дәлелденуі. Теңдеуді (2.20) түзетуі түрде жазамыз

(2.24)

бұдан

.
өрнегі итерацияның параметрі үшін мына
. (2.25)

(2.24) және (2.25) теңдеулері – бұл (2.6),(2.8) теңдеулеріне ұқсас,
(2.26)

бұдан

Бұдан , және
Осыдан (2.23) бағалануы да дәлелденеді.

Пайдаланылған әдебиетттер

2.4. Жылдам түсу әдісі.

Айталық

, (2.27)

теңдеулер жүйесінде А оң анықталған симметриялы матрица,
,

функциясын - қателік функциясы дейміз.

Мұнда, - скалярлық көбейтіндінің белгісі,
- белгісіз болғандықтан, -ді есептеу мүмкін болмағандықтан,
Айталық , -(2.1) жүйесінің жуық шешуі
, (2.28)

итерациялық әдісті қолданайық, мұнда - ауытқу
параметрі функционалының минимум шартынан таңдалады:

, (2.29)

Айқын әдісті қарастырайық және берілген
бұдан мынаны аламыз

;

ең аз шама болады , егер қойса

Бірақ
(2.30)

Теорема 1 көрсетілгендей, жылдам түсу әдісі тура сол жылдамдықпен
n=0,1,…,
Бұдан

.

Айқын емес жылдам түсу әдісі (2.2) әдіс деп аталады,
бұдан мынаны аламыз

;

немесе

.

Сондықтан, ең аз шама болады ,
.
Сонымен анық емес жылдам түсу әдісі (2.31) дұрыс бағаланған,
Енді жылдам түсу әдісінің алгоритміне тоқтала кетейік.

Жылдам түсу әдісінде (к+1) итерациясы мынандай тәсілдермен жүзеге асады:

табылған мәнімен ауытқу векторы есептеледі;

(2.30) формуласынан параметрі табылады

(2.5) формуласынан хк+1 векторы есептеледі;

Бекіту. Жылдам түсу әдісі (2.3), (2.5) мына жылдамдықпен,
0 , мұнда
Жылдам түсу әдісі итерациялық процесінің белгісі бойынша,

сондай-ақ: Егер Е- берілген нүкте болса, онда процесс мына
Сонда
Итерацияның жылдам түсу әдісіне мысал қарастырайық:

3-мысал

мысал

1 0,42 0,54 0,66

0,3

A= 0,42 1 0,32 0,44 F= 0,5

0,54 0,32 1 0,22

0,7

0,66 0,44 0,22 1

0,9

Жылдам түсу әдісі

i Xi AXi Ri (Ri,Ri) ARi (ARi,Ri) Ti TiRi

0 0 0 0,3 1,64 1,482 3,2464 0,505174963 0,151552489

0 0 0,5 1,246
0 0 0,7 1,22
0 0 0,9 1,472
1 0,1515525 0,7486693 -0,448669 0,2495198 -0,354634 0,14615 1,707290714 -0,76600892

0,2525875 0,629448 -0,129448 -0,222301
0,3536225 0,6163135 0,0836865 -0,165614
0,4546575 0,7436175 0,1563825 -0,178285
2 -0,614456 0,1432054 0,1567946 0,4337102 0,7638131 0,858408 0,505249239 0,07922033

0,0315821 0,2499153 0,2500847 0,6359362
0,4964997 0,333562 0,366438 0,6325029
0,7216478 0,4392326 0,4607674 0,7549054
3 -0,535236 0,5291214 -0,229121 0,0660623 -0,181354 0,0387 1,707032305 -0,39111768

0,1579372 0,5712216 -0,071222 -0,11754
0,6816422 0,6531337 0,0468663 -0,082193
0,9544502 0,820648 0,079352 -0,092895
4 -0,926354 0,2195437 0,0804563 0,1148663 0,3929189 0,227342 0,505257704 0,040651172

0,0363596 0,3705762 0,1294238 0,3277983
0,7616446 0,5128281 0,1871719 0,3243779
1,0899066 0,6620731 0,2379269 0,3891523
5 -0,885703 0,418069 -0,118069 0,0174986 -0,093442 0,010251 1,706993267 -0,20154296

0,101752 0,5361988 -0,036199 -0,060165
0,8562146 0,6767225 0,0232775 -0,042976
1,210121 0,8586954 0,0413046 -0,047427
6 -1,087246 0,2585649 0,0414351 0,0304265 0,2022439 0,06022 0,505259119 0,020935473

0,0399609 0,4334977 0,0665023 0,1686248
0,8959492 0,6033622 0,0966378 0,1671913
1,2806277 0,7777373 0,1222627 0,2001313
7 -1,06631 0,3607505 -0,06075 0,0046352 -0,04808 0,002715 1,706986535 -0,10370022

0,0735618 0,5186969 -0,018697 -0,031016
0,9447763 0,6878371 0,0121629 -0,021974
1,3424021 0,8788554 0,0211446 -0,024502
8 -1,17001 0,2786789 0,0213211 0,0080598 0,1040867 0,015952 0,505259366 0,010772666

0,0416464 0,4657524 0,0342476 0,0868034
0,9655382 0,6503285 0,0496715 0,0859971
1,3784956 0,8370317 0,0629683 0,1030369
9 -1,159238 0,3312697 -0,03127 0,0012278 -0,024748 0,000719 1,706985361 -0,05337699

0,0589504 0,5096106 -0,009611 -0,015954
0,9906352 0,6937794 0,0062206 -0,011341
1,410311 0,889092 0,010908 -0,01259
-1,2577937

X= 0,0434873

жүйенің шешімі

1,0391662

1,4823928

Пайдаланылған әдебиетттер

2.5 Түйіндестік градиент әдісі

Түйіндестік градиент әдісі қос қадамды итерация әдісі болып табылады,
А – (2.1) жүйенің матрицасы және В –
, k=1,2,....
Мұнда , -
(2.34)

Егер ,
(2.35)

мұнда
Пайдаланылған әдебиетттер

2.6. Қателік минимизациясы

(2.33) әдісінің итерациялық параметрін таңдау туралы сұраққа өтеміз.
,
Көмекші функциясын
k=1,2,…, (2.36)

,
мұнда . А және В
,
Онда С*=C , және де

(2.39)

(2.36), (2.37) теңдеулерден жүйелі шығара
(2.40)

мұнда - С операторының k
Итерациондық , -
параметрі берілген вектордағы
(2.41)

жиынтығында мына теңдігінің орындалатынын байқаймыз:
.

Бұдан кейін қателікті қарастырамыз

k-итерациясында пайда болған, және де
(2.42)

М ұнда, - сандық коэффициенттер, анықталатын
k=1,2,…,
коэффициентін қанағаттандыруға тиіс, минимизациялаушы
(2.44)

Демек,
(2.45)

шешімі , i=1,2,…,n, және
Пайдаланылған әдебиетттер

ҚОРЫТЫНДЫ

Берілген дипломдық жұмыста сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің итерация
Зейдель әдісі қарапайым итерация әдісіне ұқсас. Өзіне аз түзетулерін
Итерация әдісі тізбектік жуықтау мәнін алуға мүмкіндік беретін қарапайым
Жылдам түсу әдісіне қарастырылған мысалды минималь ауытқу әдісіне ұқсас
Жылдам түсу әдісі тиімді параметрімен біріктірілетін
Бұл мысалдар екі әдістің қолданылуын салыстыруға мүмкіндік береді. Қойылған
Қорыта келе сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі Қытайда біздің жыл
Ғалым философ Роджер Бэкон «Математика ғылымның есігі мен кілті.
Әдебиеттер тізімі

Б.П. Демидович, И.А.Марон. Основы вычислительной математики. Москва, 1970.

Ө.Сұлтанғазин, С.Атанбаев. Есептеу әдістерінің қысқаша теориясы, т.1, Алматы,
Д.К.Фаддеев, В.Н.Фаддеева. Вычислительные методы линейной алгебры, Москва,1963.

Г.И.Марчук. Методы вычислительной математики. Москва, 1980.

В.В.Воеводин. Линейная алгебра, Москва, 1974.

В.В.Воеводин. Вычислительные основы линейной алгебры, Москва, 1977.

А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы, 1989.

Н.А.Альмуханбетов, А.М.Бабалиев. Линейная алгебра и элементы вычислительной математики,
Н.А.Альмуханбетов, А.М.Бабалиев. Численные методы линейной алгебры и дифференциальных
Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков. Численные методы, Москва, 1987.

Р.С. Гутер, П.Т. Резниковский. Программирование и вычислительная математика, Москва,
О.А.Жәутіков. Математиканың даму тарихы, Алматы, 1967.

С.М. Лавренов. Excеl сборник примеров и задач. Москва, 2002.

ҚОСЫМША

Xi+1=Xi+ Ti Ri, i=0, 1,2,…

Ri=F-A Xi

Ti= минималь ауытқу әдісі

Ti= жылдам түсу әдісі.

Ti- итерация параметрі

Ri- ауытқу векторы

Xi- теңдеулер жүйесін шешудің жуықтаулары.

0,78х1 - 0,02х2 - 0,12х3 - 0,14х4=0,76

-0,02х1 +0,86х2 - 0,04х3 + 0,06х4=0,08

-0,12х1 - 0,04х2 + 0,72х3 – 0,08х4=1,12

-0,14х1 - 0,06х2 - 0,08х3 + 0,74х4=0,68

мысал 1

0,78 -0,02 -0,12 -0,14

0,76

A= -0,02 0,86 -0,04 0,06 F= 0,08

-0,12 -0,04 0,72 -0,08

1,12

-0,14 0,06 -0,08 0,74

0,68

Минималь ауытқу әдісі

i Xi AXi Ri ARi (ARi,ARi) (ARi,Ri) Ti TiRi

0 0 0 0,76 0,3616 0,662996 1,227456 1,851376345 1,407046

0 0 0,08 0,0496
0 0 1,12 0,6576
0 0 0,68 0,312
1 1,407046 0,6694577 0,0905423 0,068223 0,017459 0,022034 1,262010761 0,114265

0,1481101 0,0918283 -0,011828 -0,00194
2,0735415 1,2174651 -0,097465 -0,08876
1,2589359 0,5776294 0,1023706 0,070166
2 1,5213114 0,7555565 0,0044435 -2,7E-05 0,000209 0,000317 1,513265717 0,006724

0,1331827 0,089377 -0,009377 -0,00791
1,9505395 1,1054535 0,0145465 0,00921
1,3881287 0,6661794 0,0138206 0,007879
3 1,5280356 0,7555157 0,0044843 0,003107 1,55E-05 2,11E-05 1,363674347 0,006115

0,1189928 0,0774135 0,0025865 0,002224
1,9725523 1,1193902 0,0006098 -0,00035
1,4090429 0,6781021 0,0018979 0,000883
4 1,5341508 0,7597528 0,0002472 -2,7E-05 8,04E-07 1,21E-06 1,501092139 0,000371

0,1225198 0,0804466 -0,000447 -0,00039
1,9733838 1,118907 0,001093 0,00072
1,411631 0,6793063 0,0006937 0,000365
5 1,5345218 0,759713 0,000287 0,000199 6,24E-08 8,5E-08 1,36281025 0,000391

0,1218495 0,0798595 0,0001405 0,000123
1,9750245 1,1199873 1,271E-05 -4,3E-05
1,4126723 0,6798535 0,0001465 7,57E-05
6 1,534913 0,7599842 1,579E-05 -1,7E-06 3,29E-09 4,93E-09 1,501008054 2,37E-05

0,122041 0,0800276 -2,76E-05 -2,4E-05
1,9750419 1,1199292 7,082E-05 4,67E-05
1,412872 0,6799566 4,342E-05 2,26E-05
7 1,5349367 0,7599816 1,835E-05 1,27E-05 2,55E-10 3,48E-10 1,362804794 2,5E-05

0,1219995 0,0799911 8,853E-06 7,79E-06
1,9751482 1,1199993 6,819E-07 -2,8E-06
1,4129372 0,6799905 9,501E-06 4,94E-06
8 1,5349617 0,759999 1,01E-06 -1,1E-07 1,34E-11 2,02E-11 1,501007534 1,52E-06

0,1220116 0,0800018 -1,76E-06 -1,6E-06
1,9751491 1,1199955 4,533E-06 2,99E-06
1,4129501 0,6799972 2,772E-06 1,44E-06
9 1,5349632 0,7599988 1,174E-06 8,14E-07 1,04E-12 1,42E-12 1,362804761 1,6E-06

0,1220089 0,0799994 5,654E-07 4,98E-07
1,9751559 1,12 4,295E-08 -1,8E-07
1,4129543 0,6799994 6,082E-07 3,16E-07
мысал 2

0,78 -0,02 -0,12 -0,14

0,76

A= -0,02 0,86 -0,04 0,06 F= 0,08

-0,12 -0,04 0,72 -0,08

1,12

-0,14 0,06 -0,08 0,74

0,68

Жылдам түсу әдісі

i Xi AXi Ri (Ri,Ri) ARi (ARi,Ri) Ti TiRi

0 0 0 0,76 2,3008 0,3616 1,227456 1,874446009 1,424578967

0 0 0,08 0,0496
0 0 1,12 0,6576
0 0 0,68 0,312
1 1,424579 0,6777997 0,0822003 0,0286698 0,0645678 0,022777 1,258731258 0,103468116

0,1499557 0,0929725 -0,012973 -0,002585
2,0993795 1,2326357 -0,112636 -0,098057
1,2746233 0,5848272 0,0951728 0,0671524
2 1,5280471 0,7590732 0,0009268 0,0003251 -0,001868 0,000222 1,461745769 0,001354791

0,1336268 0,0897192 -0,009719 -0,00817
1,9576015 1,1092087 0,0107913 0,0071956
1,3944203 0,6693539 0,0106461 0,0063019
3 1,5294019 0,7563425 0,0036575 2,045E-05 0,0025748 1,45E-05 1,410616209 0,005159337

0,1194197 0,0777768 0,0022232 0,0019139
1,9733756 1,1197268 0,0002732 -0,000446
1,4099822 0,6785657 0,0014343 0,0006609
4 1,5345612 0,7599746 2,544E-05 1,294E-06 -0,000149 8,93E-07 1,44877322 3,68612E-05

0,1225558 0,0804766 -0,000477 -0,000416
1,9737609 1,1190978 0,0009022 0,0006254
1,4120054 0,6794979 0,0005021 0,0002672
5 1,5345981 0,7597584 0,0002416 8,761E-08 0,0001703 6,22E-08 1,409111887 0,000340379

0,1218652 0,0798734 0,0001266 0,0001111
1,9750679 1,1200039 -3,9E-06 -4,61E-05
1,4127328 0,679885 0,000115 5,916E-05
6 1,5349385 0,7599984 1,646E-06 5,619E-09 -9,86E-06 3,88E-09 1,448597402 2,38434E-06

0,1220436 0,0800299 -2,99E-05 -2,63E-05
1,9750624 1,119939 6,1E-05 4,239E-05
1,4128948 0,6799684 3,16E-05 1,647E-05
7 1,5349408 0,7599841 1,593E-05 3,809E-10 1,123E-05 2,7E-10 1,409093801 2,24461E-05

0,1220003 0,0799918 8,197E-06 7,212E-06
1,9751508 1,1200004 -4,1E-07 -3,15E-06
1,4129406 0,6799923 7,732E-06 4,016E-06
8 1,5349633 0,7599999 1,085E-07 2,443E-11 -6,5E-07 1,69E-11 1,448595327 1,57197E-07

0,1220118 0,080002 -1,96E-06 -1,73E-06
1,9751502 1,119996 4,033E-06 2,804E-06
1,4129515 0,6799979 2,073E-06 1,078E-06
9 1,5349634 0,7599989 1,05E-06 1,656E-12 7,404E-07 1,18E-12 1,409093588 1,48018E-06

0,122009 0,0799995 5,395E-07 4,747E-07
1,9751561 1,12 -2,81E-08 -2,09E-07
1,4129545 0,6799995 5,11E-07 2,657E-07
Мысал 3

0,78 -0,02 -0,12 -0,14

0,76

A= -0,02 0,86 -0,04 0,06 F= 0,08

-0,12 -0,04 0,72 -0,08

1,12

-0,14 0,06 -0,08 0,74

0,68

Зейдель әдісі

X=A'X+B

0,22 0,02 0,12 0,14

0,76

A'= 0,02 0,14 0,04 -0,06 B= 0,08

0,12 0,04 0,28 0,08

1,12

0,14 -0,06 0,08 0,26

0,68

i X1 X2 X3 X4

0 0 0 0 0

1 0,76 0,0952 1,215008 0,83800064

2 1,192225 0,1154928 1,674929 1,12725249

3 1,383406 0,1231991 1,850097 1,23176591

4 1,461272 0,1265712 1,916984 1,27051963

5 1,491922 0,1280066 1,942548 1,28509271

6 1,503802 0,1285933 1,9523208 1,29061391

7 1,508373 0,1288265 1,9560567 1,29271397

8 1,510125 0,1289176 1,9574847 1,29351443

9 1,510796 0,1289529 1,9580305 1,29381988

10 1,511053 0,1289665 1,9582391 1,29393651

11 1,511151 0,1289717 1,9583188 1,29398106

12 1,511188 0,1289737 1,9583493 1,29399807

13 1,511203 0,1289745 1,9583609 1,29400458

14 1,511208 0,1289747 1,9583654 1,29400706

15 1,51121 0,1289749 1,9583671 1,29400801

16 1,511211 0,1289749 1,9583677 1,29400837

17 1,511211 0,1289749 1,958368 1,29400851

18 1,511211 0,1289749 1,9583681 1,29400856

19 1,511211 0,1289749 1,9583681 1,29400858

20 1,511211 0,1289749 1,9583681 1,29400859

мысал 4

1 0,42 0,54 0,66

0,3

A= 0,42 1 0,32 0,44 F= 0,5

0,54 0,32 1 0,22

0,7

0,66 0,44 0,22 1

0,9

минималь ауытқу әдісі

i Xi AXi Ri ARi (ARi,ARi) (ARi,Ri) Ti TiRi

0 0 0 0,3 1,482 7,404024 3,2464 0,438464273 0,131539

0 0 0,5 1,246
0 0 0,7 1,22
0 0 0,9 1,472
1 0,1315393 0,6498041 -0,349804 -0,1121 0,015246 0,053487 3,508274206 -1,22721

0,2192321 0,5463265 -0,046326 -0,02841
0,306925 0,5349264 0,1650736 0,017363
0,3946178 0,6454194 0,2545806 0,039642
2 -1,095669 0,2565327 0,0434673 0,198344 0,128848 0,056657 0,43971623 0,019113

0,0567061 0,4466733 0,0533267 0,155736
0,8860484 0,5958394 0,1041606 0,170108
1,2877564 0,784496 0,115504 0,190572
3 -1,076556 0,3437477 -0,043748 -0,01333 0,00035 0,001052 3,003818159 -0,13141

0,0801547 0,515153 -0,015153 -0,01018
0,9318495 0,6706388 0,0293612 0,007864
1,3385453 0,8682934 0,0317066 0,002625
4 -1,207966 0,3037051 -0,003705 0,021595 0,002212 0,001105 0,499525193 -0,00185

0,0346378 0,4845724 0,0154276 0,026189
1,0200452 0,6942606 0,0057394 0,013916
1,4337862 0,8761792 0,0238208 0,029426
5 -1,209817 0,3144926 -0,014493 -0,00814 0,000106 0,000128 1,211801741 -0,01756

0,0423442 0,4976546 0,0023454 -0,00012
1,0229122 0,701212 -0,001212 -0,00628
1,4456853 0,8908783 0,0091217 0,000322
6 -1,227379 0,3046265 -0,004626 0,005636 0,000184 0,000104 0,563997288 -0,00261

0,0451864 0,4975143 0,0024857 0,006432
1,0214435 0,693601 0,006399 0,006617
1,456739 0,8912684 0,0087316 0,00818
7 -1,229988 0,3078051 -0,007805 -0,00413 2,2E-05 2,76E-05 1,25414393 -0,00979

0,0465883 0,501142 -0,001142 -0,00175
1,0250525 0,697333 0,002667 -0,00101
1,4616636 0,8958817 0,0041183 -0,00095
8 -1,239777 0,3026299 -0,00263 0,00344 6,46E-05 3,65E-05 0,56538194 -0,00149

0,0451561 0,4989414 0,0010586 0,003547
1,0283972 0,6960699 0,0039301 0,004017
1,4668285 0,8946918 0,0053082 0,004903
9 -1,241264 0,304575 -0,004575 -0,0024 7,86E-06 9,87E-06 1,255461806 -0,00574

0,0457546 0,500947 -0,000947 -0,00122
1,0306193 0,6983408 0,0016592 -0,00056
1,4698297 0,8974638 0,0025362 -0,00053
-1,2577937

X= 0,0434873

жүйенің шешімі

1,0391662

1,4823928

44