TOPREFERAT.COM.KZ - Қазақша рефераттар



МАЗМҰНЫ

Кіріспе

1 Логарифмдік функциялар.......................5

1.1 Тарихи мағлұматтар..................... 5

1.2 Логарифмдер және олардың қасиеттері....... 14

1.3 Логарифмдік функциялар және олардың қасиеттері.......18

2 Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу.................... 25

2.1 Қарапайым логарифмдік теңдеулер............... 25

2.2 Күрделi логарифмдік теңдеулер................... . 31

2.3 Түрлі логарифмдік теңдеулер......................... 39

2.4 Логарифмдік теңсіздіктер............48

Қорытынды............... 59

Пайдаланған әдебиеттер.....................60

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Жұмыс көлемі: 61 бет
Пәні: Соңғы қосылған дипломдық жұмыстар

-----------------------------------------------------------------------------------

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫСТЫҢ ҚЫСҚАРТЫЛҒАН МӘТІНІ
Аннотация

Мектеп математика курсында жалпы логарифм тақырыбы жоғары сыныптарда алгебра
Дипломдық жұмыстың құрылымы: Кіріспе, 1 тарау, 2 тарау, қорытынды
МАЗМҰНЫ

Кіріспе

1 Логарифмдік функциялар.......................5

1.1 Тарихи мағлұматтар..................... 5

1.2 Логарифмдер және олардың қасиеттері....... 14

1.3 Логарифмдік функциялар және олардың қасиеттері.......18

2 Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу.................... 25

2.1 Қарапайым логарифмдік теңдеулер............... 25

2.2 Күрделi логарифмдік теңдеулер................... . 31

2.3 Түрлі логарифмдік теңдеулер......................... 39

2.4 Логарифмдік теңсіздіктер............48

Қорытынды............... 59

Пайдаланған әдебиеттер.....................60

Кіріспе

«Жаңа әлемдегі жаңа Қазақстан» құру
Қазіргі жалпы нарықтық экономикалық ғылым
Математикалық экономикада және басқа ғылымдарда
Егер оның осы ерекшелігі түбегейлі экономикалық
Тақырыптың көкейкестілігі. Мектеп математика курсында логарифмдік теңдеу мен теңсіздіктердің
Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің тәсілдері әртүрлі болады. Әдетте
Дипломдық жұмыстың мақсаты: Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің негізгі
Зерттеу пәні: Математиканы оқыту

Зерттеу нысаны. Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу тәсілдері.

Дипломдық жұмыстың әдіснамалық негізі:

- зерттелетін тақырып бойынша математикалы ғылыми-әдістемелік, психологиялық-педагогикалық,философиялық әдебиеттерге талдау
- орта білім мен математикалық деңгейі туралы нормативтік құжаттарды
- математика мұғалімдерінің алдыңғы қатарлы тәжірибесін оқу және жалпылау.

Зерттеу жұмысының міндеті:

- мектеп курсында оқушыларға логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер тақырыбын
- логарифмдік функцияның қасиеттері мен графигін саналы түрде оқушыларға
Зерттеудің ғылыми жаңалығы:

Жұмыстың практикалық маңыздылығы:

1 Логарифмдік функциялар

1.1 Тарихи мағлұматтар

Логарифмдердің пайда болуы XVI ғасыр бойында астрономия және
Көбейтуді одан жеңілірек қосу мен азайтуға келтіру үшін кейде

sinxsiny= ,

cosxcosy=

ережелері бойынша синус және косинус кестелері пайдаланылды.
және ... 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,
Мұндай идеяларды амалдарды оңайлатуға қолдану үшін дәреже көрсеткіштер тізбегіне
Бұл күрделі проценттер кестелері яғни проценттік ұтысының
И. Бюрги (1552-1612) Швейцарияда туып өсті. Ол сағат және
Кестенің адымы жетерліктей аз болуы үшін Бюрги
0
Төменгі қатардағы сандар қызыл бояумен басылып, қызыл сандар, ал
Сонымен Бюрги кестесіндегі қызыл сандар негізі
Бюрги есептеу жұмысындағы кестелердің пайдасын көре тұра көпке дейін
Бюргидің кесте жасаудағы жайбарақаттығы қымбатқа түседі. 1614 жылы одан
Непердің логарифмі. Ондық логарифмдер Непер кестелері 00-ден 900-қа дейінгі
А және А1 нүктелерінен бір кезде стрелкамен көрсетілген бір
Осылай мәндердің екі тізбегі түзіледі:

Непер бөлшектерден құтылу үшін AB=1 орнына AB=107 деп
Кестедегі төменгі сандарды ол жоғарыдағы сандардың сәйкес логарифмдері деп
Непер жүйесі бойынша логарифмдеу ережелерінің қазіргіден өзгешелігі бар. Олар
Непер кестелері таза тригонометриялық есептеулерге арналғандықтан, берілген кез келген
… 0,01 0,1
… -2
прогрессияларын салыстыруға негізделген жаңа, практикалық жағынан өте қолайлы ондық
Непер және Бригс еңбектері арқасында есептеу қиындықтарынан арылып, математикада
Логарифмдердің ашылуының практикалық пайдасымен қатар терең теориялық маңызы болды.
Бұл есептеулердің біразы дәреже және дәреже көрсеткіш ұғымдарының дамуымен
Арифметикалық амалдар тек бүтін сандар мен бөлшектерге ғана қолданылып
Ол кезде тригонометриялық таблицалардың ролі тіпті орасан үлкен болды.
Ол үшін ертедегі математиктерден мирас болып қалған әдіс –
Есептеуді жеңілдететін құралдар – ол кезде де, қазірде
Практикалық есептеулерде көп кездесетін мәселелердің бірі - әр
Логарифм операциясына дайындық жасағандар – Штифель және Стевин. Мұнда
Штифельдің келтірген таблицалары келесі екі прогрессия:

0 , а ,2а ,3а ,4а , ...

Үлкен сандар кездесетін есептеуді жеңілдету үшін, геометриялық прогрессия мүшелерінің
0 , 1, 2, 3,
1, 2, 4, 8,
Штифель таблицасындағы екінші және үшінші мүшелердің арасындағы аралықты толтыру
Штифельдің осы идеясын, яғни оның таблицасын, практикалық есептеуге пайдаланған
«Прогрессиялардың арифметикалық және геометриялық таблицалары» атты еңбегінде Штифельдің осы
Геометриялық прогрессияның мүшелері бір – біріне жуық болу үшін,
(1) прогрессиялардағы а – ның орнына 0,0001
0 ; 0,0001 ; 0,0002 ; 0,0003 , ...
1 , 1,0001 ; ( 1,0001)
Арифметикалық прогрессияның мәні 1-ге тең мүшесіне геометриялық прогрессияның
Кейінгі Бюрги таблицаларының (3) негізгі геометриялық прогрессияның 10001
Бюрги мына санның жуық мәнін
2,71814593

Егер өрнегіндегі - ді шексіз өсе
Европа жеріне жаңа ғана енген ондық бөлшектер алгоритмі
0; 10; 20; 30; ... ;
Сөйтіп, төмендегі екі қатар сандар шығатын болды:

0; 10; 20; 30; ... ;

Жоғарғы қатардағы сандар қызыл бояумен басылды да, оларды «қызыл
Сонымен, Бюрги таблицасындағы «қызыл сандар» 10
Осындай таблицаны құруға Бюрги сегіз жыл уақыт жұмсаған: сандардың
Бюрги бұл таблицаларын жарыққа шығаруға көп уақытқа дейін
Бюрги таблицалары есептеу істерінің дамуында тиісті роль атқарды,
2. 1614 жылы Бюргидің кітабынан алты жыл бұрын Англияда
Джон Непердің қарастырған мәселесі заманына сай келді. Бұл кезде
Бюрги өз таблицаларын жасағанда геометриялық прогрессияның еселігін бірге жуық
Непер өзінің алдына қойған проблемасына тереңнен қарады. Оның заманында
Непердің идеясы былай: А және В екі нүкте Ох
Бұл шыққан дифференциалдық теңдеу. Оны интегралдап, мынаны табамыз:

Енді мұндағы С – ні табу керек.
Ендеше

Бұдан

Жоғарыдағы дифференциалдық теңдеу Непердің ойында ешбір болған емес. Соған
сандары мен олардың логарифмдерінің арасындағы байланысты Непер мына
Және бұл байланысты ол арифметикалық прогрессия мен геометриялық прогрессияның
3. Непер ондық логарифмдерді өзінің досы, Лондон университетінің профессоры
Бригг ең әуелі 1-ден 20000–ға дейінгі сандардың, онан кейін
Бригг сандардың ондық логарифмдерін қалай, қандай жолмен тапты,
Айталық 10 санынан біртіндеп квадрат түбір тауып,
Бұл теңдіктің екі жағында квадрат дәрежеге шығарсақ онда,

n- санын мейлінше үлкен деп, ал
Кейінгі теңдіктің екі жағын -ге
Кейінгі жуық теңдікті мына түрде жазуға болады:

Егер былай ұйғарсақ:

Онда санның логарифмінің өзімізге белгілі анықтамасы бойынша

Ал х- тің мәні -не немесе
Егер де түбір табу амалы
Бұл теңдіктің екі жағын логарифмдеп табатынымыз:

Х-тің және -тің мәндерін (4) теңдікке апарып
Сөйтіп кез келген санның ондық логарифмін табу осы саннан
Міне, Бригг сандардың ондық логарифмдерін осы жолмен тапты. Сандардың
Бриггтің бастап берген жұмысын әрі қарай созап аяқтаған голланд
1.2 Логарифмдер және олардың қасиеттері

І-теорема a>0, және b>0 болатын кез-келген
b оң санының a негізі бойынша
(1)

(І) – негізі логарифмдік тепе-теңдік деп аталады.

теңдігі екенін білдіреді.

Мысалы, өйткені
Логарифм тек оң сан үшін және оң бірге тең
Логарифм анықтамасынан мына теңдіктер шығады:

Жалпы алғанда мына теңдік орын алады:

(2)

Логарифмдердің қасиеттері

болсын. Егер болса, онда:

1)

2)

3) Егер N>0, болса, онда
4) Егер N>0, болса, онда

5) Егер болса, онда

6) Егер болса, онда

(берілген негізден басқа негізге көшу формуласы). Дербес жағдайда, егер
7) Егер болса, онда (
8) Егер болса, онда

яғни логарифм негізі бірден үлкен болса, онда екі оң
9) Егер болса, онда

яғни логарифм негізі бірден кіші болса, онда екі оң
10) Логарифмдік функцияның анықталу жиыны болып барлық оң сандар
11) функциясы аралығында
Онда негізгі логарифмдік тепе-теңдігі бойынша

және теңдіктер орындалады және
Егер 012) Логарифмдік функцияның мүмкін мәндерінің жиыны
13) . Расында. . Бұдан
14) логарифмдік функциясы мен
Негізі 10-ға тең логарифмді ондық логарифм деп атайды және
Негізі e санына (e=2,7182818284… иррационал сан) тең логарифмді натурал
Келесі мысалдарда функцияның жалпы анықтамасына сәйкес берілген логарифмдік функциялардың
1-м ы с а л
2-м ы с а л функциясы
3-м ы с а л Есептеу керек:
Ш е ш у і: екенін
Одан әрі 3), 2) қасиеттерді және
аламыз. Сонымен,

4-м ы с а л
Ш е ш у і

5-м ы с а л
Ш е ш у і 1-тәсіл.

Енді теңдігін пайдаланамыз:

2-тәсіл. деп белгілеп,
Бұдан демек,

6-м ы с а л
Ш е ш у і:
Бұдан x-ті тапсақ болады. Олай болса,
7-м ы с а л
Логарифмдеу арқылы:

екенін аламыз, сонда .

Егер болса, онда
Жауабы: 1; 4

8-м ы с а л

Сондықтан, .

9-м ы с а л

Есептің шартынан

Жауабы:

1.3 Логарифмдік функциялар және олардың қасиеттері

Логарифмдік функцияның пайда болуы мен қалыптасуы Логарифмдерді енгізгендегі негізгі
Көрсеткішті функцияны анықтап, оны зерттегеннен кейін Эйлер логарифмдік функцияны
Логарифм гректің logos – қатынас, arihtmos – сан деген
Айталық, а – оң сан, ол 1-ге тең емес
Анықтама. Мына формуламен берілген

(1)

Функцияны негізі а болатын логарифмдік функция деп атайды.

Логарифмдік функцияның негізгі қасиеттерін атап өтейік.

1. Логарифмдік функцияның анықталу облысы – барлық оң
Шынында да, алдыңғы бапта атап көрсетілгендей-ақ әрбір оң x
2. Логарифмдік функцияның мәндерінің облысы – барлық нақты сандар
Шынында да, логарифмнің анықтамасы бойынша кез келген нақты y
(2)

яғни функциясы нүктесінде
3. Логарифмдік функция бүкіл анықталу облысында өседі, (a>1 болғанда),
Мысалы, a>1 болғанда функцияның өсетінін дәлелдейік (ал 0Айталық, x1 мен x2 – қалауымызша алынған оң сандар
(3)

Көрсеткіштік y=ax функциясы a>1 болғанда өсетін себепті, (3) теңсіздіктен
1-сурет

2-сурет

(4)

Ал бірақ та (логарифмнің анықтамасы бойынша),
Графигін салу үшін мыналарды еске түсірейік: логарифмдік функция 1
a>0 болғанда функция өсетін себепті, x>1 болғанда логарифмдік функция
Егерде 0Дәлелденген қасиеттерге сүйеніп, функцияның a>1 болғандағы
3-сурет

Мынадай тұжырым дұрыс:

Негізі бірдей болып келген көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың графиктері
Логарифмдік функциялардың қасиеттері қолданылатын мысалдарды қарастырайық[4].

1-м ы с а л Мына функцияның анықталу облысын
Логарифмдік функцияның анықталу облысы – R+ жиыны. Сондықтан берілген
2-м ы с а л Мына функцияның анықталу
Алдыңғы мысалдағы сияқты, f функциясы x2-3x-4>0 шарты орындалатындай барлық
3-м ы с а л Мына функцияның анықталу облысын
теңсіздігін интервалдар әдісімен шешіп, екенін табамыз
Функцияның анықталу аймағы – R барлық нақты сандар жиынтығы.

Функцияның жиынтық мағынасы – R+ барлық оң сандар жиынтығы:
болғанда функция өспелі,егер болса,онда
Егер болса,онда

Логарифмдік функцияның қасиеттері:

Функцияның анықталу аймағы – R+ барлық оң сандар жиынтығы.

Функцияның жиынтық мағынасы – R барлық нақты сандар жиынтығы.

болғанда функция өспелі,егер болса,онда
Логарифмдер қасиеттері:

Егер болса, онда
Логарифмнің негізі 1-ге тең: .

Егер және болса,онда
(логарифмдердің бөліндісінің формуласы).

Егер болса, онда
Егер болса, онда
Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер үшін ескертулер.

Көрсеткіштік (1) теңдеуді логарифмдегенде мынау теңдеу
(3) теңдеуінің түбірі аралас жүйеде ғана шешімін табады. Яғни,
Логарифмдік (5) теңдігі
(7) логарифмдік теңдеу мына әрбір жүйелермен теңбе-тең:

немесе (8)
теңдеуін шешу үшін тек бір жүйені ғана шешу жеткілікті
теңдеудерін шешу үшін логарифмдердің көбейтіндісі мен бөліндісінің формуласын пайдаланып
арықарай теңдеуді қасиет бойынша шығарамыз. Табылған
Егер теңдеуді логарифмдердің көбейтіндісі мен бөліндісінің формуласын пайдаланып шешсек,
11-м ы с а л Логарифмдік функцияның қасиеттерін пайдаланып
a) және

Негізі 1-ден үлкен логарифмдік функция бүкіл сандық түзуде өседі,
b) және

Ал негізі 1-ден кіші логарифмдік функция бүкіл сандық түзуде
c) және

Логарифмнің монотондылық қасиетін негіздері бірдей логарифмдерге қолдану арқылы төмендегі
, ал , олай болса
12-м ы с а л Функцияның графигін салыңыздар:

a)

Логарифмдік функцияның графигін қарастырғанбыз. Тек бұл мысалда негізі 2-ге
4-сурет

b)

Бұл жағдайда да негізі ге тең
5-сурет

2 Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу

2.1 Қарапайым логарифмдік теңдеулер

Ең қарапайым логарифмдік теңдеуді қарастырайық . Логарифмдік
1-м ы с а л Теңдеуді шешейік
Берілген теңдеуді x-тің теңдігі орындалатындай
2-м ы с а л Теңдеуді шешейік
Бұл теңдеу x-тің тек 2x+3>0 және x+1>0 теңсіздіктері орындалатындай
Ал осы теңдеуді басқаша шешуге болар еді. Берілген теңдеудің
3-м ы с а л Теңдеуді шешейік
Бұл теңдеуді x-тің тек x>0 және
4-м ы с а л Теңдеуді шешейік
Енді қосылғышты 5 негізіне көшіріп, ауыстыруын
.

Енді берілген теңдеуді t2-2t-3=0 түрінде көшіріп жазуға болады. Бұл
5-м ы с а л Теңдеулер жүйесін шешейік:

Жүйенің бірінші теңдеуі y-x=2 теңдеуімен, ал екіншісі
Енді тағы да түріндегі кез келген
6-м ы с а л Теңдеуді шешейік
Логарифмнің анықтамасы бойынша және
7-м ы с а л
Потенциалдасақ:

,

бұдан . Сондықтан, .

Жауабы:

8-м ы с а л
Теңдеудің екі жағын логарифмдесек (негізін 5-ке тең деп,
;

Сондықтан,

Жауабы:

9-м ы с а л
Логарифмдесек,

бұдан .

Жауабы:

10-м ы с а л
Берілген теңдеуді түрінде жазамыз. Екі жағынан
десек, онда теңдеуін шешсек
Жауабы:

11-м ы с а л
Есептің шартынан

бұдан

Жауабы: x=4096

12-м ы с а л
Берілген теңдеуді мына түрде жазамыз.

Потенциалдасақ:

бұдан, деп белгілеу арқылы y1=25, яғни
Жауабы: x=4.

13-м ы с а л
Берілген теңдеуді мына түрде жазамыз:

Потенциалдасақ:

екені шығады, бұдан

мұнда

Сонымен, берілген теңдеудің шексіз көп шешімі болады.

14-м ы с а л
Ш е ш у і Мұндағы барлығын 5 негізді
, немесе

қасиетке сәйкес теңбе-тең теңдеуге келеміз: . Бұдан
Жауабы:

15-м ы с а л
Шешуі Ұқсас мүшелерді біріктіріп мынаны аламыз:
Жауабы:

16-м ы с а л
Шешуі және болады, демек
болғанда, шартты қанағаттандымайды. Яғни, түбірден теріс
Жауабы:

17-м ы с а л Теңдеуін шешу керек:
Ш е ш у і қасиетке
1) теңдеуінің түбірі
2) теңдеуінің бір түбірі
Жауабы:

18-м ы с а л Теңдеуін шешу
Ш е ш у і логарифмдік функциянаң анықталу аймағын
Теңдеулер жүйесінен табатынымыз:

Демек, бұдан қанағаттандырмайды.
Жауабы: .

19-мы с а л Теңдеуін шешу керек:
негізге келтіреміз. Мұнда:

; мына теңбе-теңдікке келтіреміз.

Логарифмдік функцияның анықталу аймағын есепке ала отырып, мынаны аламыз:
тің мәнін
.

Бұдан теңдеулер жүйесі шығады:

Теңдіктің екі жағын да бөлетін болсақ,
Теңдеуден екенін ескеріп аламыз.
Жауабы:

20-м ы с а л
Ш е ш у і қасиет
Квадраттық теңдеуді шешеміз: түбірін табамыз,
Жауабы:

21-м ы с а л теңдеуін
Ш е ш у і логарифмдердің жаңа негізге өту
Теңдеулер жүйесін шешеміз. ескере отырып, теңдеуді мына
немесе ( қасиет
шартын қанағаттандырады.

Жауабы:

22-м ы с а л
Ш е ш у і
Жауабы:

23-м ы с а л Теңдеуді шешу керек:
Ш е ш у і
Нәтижесінде теңдеуіне келтіріп шығарамыз.

Егер болса, онда
Егер болса, онда
Оның түбірлері: . Содан, мына түбірлерді аламыз:
Жауабы:

2.2 Күрделi логарифмдік теңдеулер

Логарифмдік теңдеулердің негізгі түрлері. Логарифмдік теңдеулерді шешу, әрине, логарифмдердің
Логарифмдік теңдеулердің негізгі екі түрін қарастырамыз:

I.

II.

Логарифмдік теңдеулер көбінесе осы екі түрде немесе осы екеуінің
а) ; б) ; в)
г) д) .

Шынында да, болғандықтан (
Қалған б), в), г), д) теңдеулерінің І мен ІІ
1-м ы с а л
x>1 екенін байқаймыз. Берілген теңдеуді мына түрде жазамыз:

Потенциалдасақ:

x>1 ескере отырып,

теңдеуін аламыз, бұдан мәнін қарастырмаймыз. Сондықтан
Жауабы: x=9.

2-м ы с а л
немесе теңдеуін аламыз. Оның екі шешімі
Жауабы:

3-м ы с а л
Берілген теңдеудің шешімдері x>-3 шартын қанағаттандыруы керек. Теңдеудің оң
түріне келеді. Оны потенциалдасақ:

Бұдан

түбірін қарастырмаймыз, себебі ол x>-3 шартын қанағаттандырмайды.

Жауабы: 1.

4-м ы с а л
Теңдеуді потенциалдасақ:

бұдан

Жауабы:

1)

Логарифмдеу арқылы:

екенін аламыз, сонда .

Егер болса, онда
Жауабы: 1; 4

I. түріндегі және оған келтірілетін теңдеулерді
теңдеуін екі түрлі әдіспен ауыстыруға болады.

Бірінші әдіс:

(1)

Екінші әдіс:

(2)

Әдісті таңдау, немесе
5-м ы с а л Теңдеуді шешу керек:

Ш е ш у і Бұл І негізгі теңдеудің
Біз берілген теңдеуді І-әдіспен ауыстырамыз, өйткені,
6-м ы с а л Теңдеуді шешу керек:

(3)

Ш е ш у і (3) теңдеуді келесі түрге
Бұл теңдеуден

аламыз. Бұл мәндерді тексеру үшін (3) теңдеудің анықталу аймағын
TAA:

дұрыс;

дұрыс емес.

Жауабы: x=-1.

Е с к е р т у
7-м ы с а л Теңдеуді шешу
(4)

Ш е ш у і
Т е к с е р у:

TAA:

Жауабы: x=100.

8-м ы с а л. Теңдеуді шешу керек:

(5)

Ш е ш у і: алдымен (5) теңдеуде негіздері
Бұларды (5) теңдеуге қойсақ:

(6)

аламыз. Енді екенін ескерсек,

болады. Табылған мәндерді тексереміз.

TAA:

дұрыс;

болғандықтан,

дұрыс.

Жауабы:

Натурал логарифмдерге қарағанда ондық логарифмдердің практикалық есептеулерде көп
9-м ы с а л

Мына теңдеуді шешу керек болсын:

Берілген теңдеудің ММО . Осы облыста
Бұдан х=0,9. Бұл сан берілген теңдеудің де шешімі
Ескерту дұрыс не бұрыс болуы
10- м ы с а л

теңдеуін шешу керек.

Шешуі Бұл теңдеудегі логарифмдік функцияның негізінде параметр болғандықтан, ол
Теңдеудің анықталу облысын

теңсіздіктер системасынан табамыз. Сонда . Логарифмдердің негіздері
Соңғы түрлендіру теңдеудің анықталу облысына ешбір, өзгешелік кіргізбейді, өйткені
теңдеуіне Е облысында мәндес болады. Бұл теңдеудің екі жағын
(4)

теңдеуін аламыз. Түрлендірудің нәтижесінде бөгде түбір пайда болмайды. Өйткені
Теорема. Теңдеудің анықталу облысында және
11-м ы с а л Теңдеуді шешу керек:

(7)

Ш е ш у і (7) теңдеу келесі жүйеге
Бұл жүйедегі теңдеуінің үш түбірі бар:
Жауабы: x=2; x=3.

12-м ы с а л Теңдеуді шешу керек:

(8)

Ш е ш у і (8) теңдеуде негізі 10
Т е к с е р у

TAA:

x1=1 мен соңғы жүйенің үш шарттарын
Жауабы: x1=1, .

2)

Сондықтан, .

II. түріндегі және оған келтірілген теңдеулерді
Бұл теңдеуді екі түрлі әдіспен ауыстыруға болады.

Бірінші әдіс:

(1)

Екінші әдіс:

(2)

a(x)>0 немесе b(x)>0 теңсіздіктерінің қайсысы жеңіл шешілуіне байланысты II
13-м ы с а л Теңдеуді шешу керек:

(3)

Шешуі: (3) теңдеу келесі жүйеге мәндес:

Бұл жүйенің соңғы теңдеуінің түбірлері: x1=-4, x2=-2. Бұл мәндер
Жауабы: x= -4.

14-м ы с а л Теңдеуді шешу керек:

(4)

Ш е ш у і (4) теңдеу келесі жүйеге
Мұндағы теңдеуінің үш түбірі бар: x1=1,
Жауабы: x=3.

15-м ы с а л
екені айқын. Теңдеуді потенциалдасақ, немесе
Жауабы:

16-м ы с а л
Потенциалдасақ:

бұдан Сондықтан,

Жауабы:

17-м ы с а л
делік. Сонда берілген теңдеу

түріне келеді, бұдан

болсын делік. Логарифмдесек

Егер болса, онда ,
2.3 Түрлі логарифмдік теңдеулер

1-м ы с а л Теңдеуді шешу керек:

(1)

Ш е ш у і:

TAA:

Негізгі логарифмдік тепе-теңдікті: қолданып (1) теңдеуден
2-м ы с а л Теңдеуді шешу керек:

(2)

Ш е ш у і: TAA: x>0. TAA-нда (2)
Бұл жиынтықтан x=0,1 және x=100 аламыз.

Т е к с е р у: Бұл екі
Жауабы: x=0,1; x=100.

3-м ы с а л Теңдеуді шешу керек:

(3)

Ш е ш у і: екенін
Енді келесі теңдеулер жиынтығына келдік:

Тексеру жасап мен
Логарифмдік теңдеулерді шешуде кейде келесі формула қолданылады:

(*)

4-м ы с а л Теңдеуді шешу керек:
Ш е ш у і: TAA: x>0. айнымалдың осы
.

Соңғы теңдеуден немесе x=625 аламыз.
5-м ы с а л
Потенциалдасақ:

Сондықтан,

Жауабы: x=12.

6-м ы с а л
Потенциалдасақ:

бұдан

Берілген теңдеу үшін x7-м ы с а л
Теңдеуді түрінде жазамыз. Сонда

Сонымен, демек, немесе
Жауабы:

8-м ы с а л

Теңдеуін шешу керек .

1-шешуі.

2-шешуі. Берілген теңдеудің анықталу облысы 0- ден басқа бүкіл
Оған Е жиынында мәндес болатын (5.1) теңдеуін аламыз. (5.1)
теңдеуіне мәндес болады, бұл теңдеу 4- теорема бойынша

теңдеуіне мәндес, ал 1-теоремасы бойынша (5.3) теңдеуі

теңдеулер жиынына мәндес. Соңғы теңдеулер жиынының шешімдері

Түрлендіру процесінде теңдеудің анықталу облысына ешқандай өзгеріс кірген жоқ,
Мектеп оқушыларының көпшілігі (5) теңдеудің және сол сияқты теңдеулерді
Анализ мен алмастырудың салдарынан, түрлендірілген теңдеудің
Осы тұрғыдан бірінші жолмен берілген теңдеуді шешілді деп айтуға
Бірінші жолмен теңдеуді шешуде жіберілген қателер негізінде мектептен белгілі
Шындығынды да, формуласы а тұрақты оң
9-м ы с а л

(6) теңдеуін зерттеу керек.

х логарифмдік функцияның негізі. Ал негіз оң сан болуы
Е облысында

Болғандықтан, (6) теңдеуі мына теңдеуге

(6.1) эквивалент, ал (6) теңдеуі

теңдеуіне мәндес. Бұл теңдеу мына теңдеуге мәндес:

теңбе-теңдігін пайдаланып, (6.3) теңдеуін түрлендірейік:

Е облысында

теңдігі орынды. Олай болса, (6.4) теңдігі мына
Түрлендіру процесінде (6) теңдеуінің ММО облысында ешқандай өзгеріс болған
болғандықтан,

10-м ы с а л

теңдеуін зерттеу керек.

Теңдеудің ММО табамыз: . Осы облыста
Бұл теңдіктерді пайдаланып, (7) теңдеуіне Е облысында эквивалент теңдеу
Логарифмдерді бір негізге, анығырақ айтқанда, 2 негізіне келтірейік. Сонда
(7.3) теңдігі болса ғана теңбе–теңдік береді,
Бұл теңдеудің бөлімдері облысында нольден өзгеше
теңдеуіне Е-де мәндес. Соңғы теңдеу мына теңдеулер жиынына мәндес
сандары теңдеулер жиынының шешімі. Өйткені бұл сандарда теңдеулер жиынының
11-м ы с а л Мына теңдеуді шешу
Шешуі Алдымен теңдеудің анықталу облысын табайық.
Енді (8) теңдеуінің ММО табайық. Осы процесті оңайлату үшін
Бұл теңдеудің құрамындағы логарифмдік функция теріс мән қабылдамайтындығы мына
Сондықтан

деп ұйғарамыз. Бұл теңсіздіктің шешімі:

(8) теңдеудің мүмкін мәндерінің облысы:

Е облысында функциясы теріс мәндер қабылдамайды.
Логарифмдік функцияның да теріс мәндер қабылдамайтындығы (8.1) теңдігінен айқын.
теңдеулер системасына мәндес болады. Бұл система

Теңдеулер системасына мәндес болатындығы түсінікті. (8.3) системаның бірінші теңдеуінің
Х=1.

12-м ы с а л Мына теңдеуді шешу
Шешуі Алдымен теңдеудің ММО табайық.
Өздеріңізге белгілі тәсілдермен бұл теңдеуді шешу мүмкіншілігі жоқ. Тек
теңсіздіктерінің орындалатындығы байқалады. Ендеше 4-теорема бойынша (9) теңдеуі мына
Системаның шешімі х=3. Олай болса, берілген теңдеудің де шешімі
13-м ы с а л Мына теңдеудің шешімін табу
(10) теңдеудің құрамындағы функциялардың бір-бірімен байланысы жоқ болғандықтан, оны
Сондықтан бұл теңдеуге де 4-теореманы пайдалану мүмкіншілігін қарастырайық. (10)
функциясынан алынған логарифм бүкіл нақты сандар жиынында оң мәндер
(10.1) теңсіздігінің шешімі [-1,7], ал (10.2) теңсіздігінің шешімі [0.5;5.5].
Демек, ұйғарым математиканың ірге тасы бола алмайды. Осы себепті
Енді F(x) функциясының нүктелеріндегі мәндерінің айырмасының
Косинустардың айырымының формуласын пайдаланып, соңғы теңдікті былай жазуымызға болады:
болады. Осы себепті

Системасынан теңсіздігі , бұдан

теңсіздікті шығады, болуына байланысты
(11.1) , (11.2) теңсіздіктерінен мынадай қорытынды шығады:

(11.3) және (11) теңсіздіктері F(x) функциясының [-1;3] кесіндісінде монотонды
F(x) функциясы [-1;3] кесіндісінде мына теңсіздікті қанағаттандырады.

Ал функциясы [-1;3] кесіндісінде монотонды өспелі
Теңсіздігін қанағаттандырады. Дәл осы ой жүйесін қайталап, [3;7]
Ал функциялары [-1;7] кесіндісінде теріс
Жоғарыда айтылған дәлелдемелердің нәтижесінде мынадай теңдеулер системасы шығады:

Системаның шешімі х=3. Бұл сан теңдеудің
2.4 Логарифмдік теңсіздіктер

Логарифмдік теңсіздіктерді шешу кезінде шешімдер жоғалатын немесе бөгде шешімдер
(1)

(2)

(3)

(4)

Мұнда әрбір жүйедегі екі теңсіздіктен үшінші теңсіздіктің шығатынын көруге
1-м ы с а л Теңсіздікті шешейік
-2 саны -іне тең. Сондықтан берілген теңсіздікті
Негізі логарифмдік функция R+ жиынында анықталған
Сонымен, берілген теңсіздіктің шешімдер жиыны интервалы
2-м ы с а л Теңсіздікті шешу керек:

(5)

Ш е ш у і a = 10
Соңғы жүйенің шешімін, мысалы, сан осінің көмегімен табуға болады:

-7 -1 1 3

6-сурет

Соңғы жүйедегі екі жиынтықтың шешімдерінің қиылысуы

.

Жауабы: .

3-м ы с а л Теңсіздікті шешу керек:

(6)

Ш е ш у і: екенін
(7)

болғандықтан (7) теңсіздікті оған мәндес келесі жүйемен ауыстырамыз:

Соңғы теңсіздіктің шешімі .

Жауабы: .

4-м ы с а л Теңсіздікті шешу керек:

. (8)

Ш е ш у і Логарифмнің қасиетін пайдаланып (8)
(9)

Әрине (8) бен (9) теңсіздіктер мәндес емес. Дәлірек айтқанда,
теңсіздігіне, (8) теңсіздіктің анықталу аймағын ((9) теңсіздіктің анықталу аймағын
Сонымен, (8) теңсіздік мына жүйеге мәндес:

(10)

x-тің кез келген нақты мәнінде, өйткені,
Соңғы жүйені шешіп аламыз.

Жауабы:

5-м ы с а л Теңсіздікті шешу керек:

(11)

Ш е ш у і: 1-тәсіл. TAA:
Егер екенін ескерсек, онда

(12)

(12) жүйе келесі екі жүйенің жиынтығына мәндес

(13)

Бірінші жүйені шешеміз

Екінші жүйені шешеміз

(II) теңсіздіктің шешімі:

2-т ә с і л Интервалдар әдісін қолданамыз. Ол
(14)

теңсіздігін аламыз ((12) жүйені қараңыз). Содан соң TAA-нда (14)
x1=2 және .
Логарифмдік функция өзінің анықталу аймағында үзіліссіз болатынын ескеріп, TAA-ндағы
7-сурет

Жауабы:

Егер берілген теңсіздіктегі логарифм негізінде айнымал шама бар болса,
түрінде берілсе, онда функциясының екі жағдайы:
6-м ы с а л Теңсіздікті шешу керек:

(15)

Ш е ш у і: (15) теңсіздікті оған мәндес
Одан әрі,

Соңғы жүйелер жиынтығын шешіп, бастапқы теңсіздіктің шешімін аламыз.

Жауабы:

7-м ы с а л Теңсіздікті шешу керек:
Ш е ш у і (16)-ны көрсеткішті-логарифмдік теңсіздік деп
яғни, , немесе, болады.

Соңғы теңсіздіктен келесі теңсіздіктер жиынтығын аламыз:

.

Бірінші теңсіздіктен 010 аламыз.

Жауабы: .

Е с к е р т у Егер теңсіздіктің
8-м ы с а л Теңсіздікті шешеміз:
Ш е ш у і
болғандықтан, қасиетке сәйкес теңсіздігіміз
Жауабы:

9-м ы с а л Теңсіздікті шешеміз:
Ш е ш у і
Сөйтіп, теңсіздіктер жүйесін құрамыз:

Жауабы:

Логарифмдік теңдеуді шешудің тәсілдері:

Логарифмнің анықтамасын қолдану арқылы шығарылатын теңдеулер:

10-м ы с а л логарифмнің
Демек, мәні теңдеуді қанағаттандырады.

Жауабы: 2

2. Потенциалдауды қолдану үшін логарифмдік теңдеуді
11-м ы с а л

немесе

Жауабы: 6

3. Жаңа айнымалы енгізу тәсілі:

12-м ы с а л

Жауабы:

4. Мүшелеп логарифмдеу тәсілі:

13-м ы с а л

шыққан теңдеуді негізін 2-ге тең етіп логарифмдейік:

Демек,
Тексеру:

Жауабы:

14-м ы с а л

Анықталу облысы:

Жауабы: 5.

15-м ы с а л
Жауабы: 4, 1

16-м ы с а л Теңсіздікті шешеміз:
Ш е ш у і
болғандықтан, қасиетке сәйкес теңсіздігіміз
Жауабы:

17-м ы с а л Теңсіздікті шешеміз:
Ш е ш у і
Сөйтіп, теңсіздіктер жүйесін құрамыз:

Жауабы:

18-м ы с а л
Жауабы:

Қорытынды

Қорыта келгенде, мектеп пәндерін, соның ішінде математиканы оқушының жеке
XXI – ғасырдағы жоғары білім беру үздіксіз білім алуға
Ал қазіргі таңдағы оқу ағарту саласында жүргізіліп жатқан реформалар,
Сол себепті математика сабағында оқушылардың материалды дұрыс ұғынуы пәнге
Сонымен қатар қазіргі мектеп математикасындағы білімнің мазмұнын меңгеру үшін
Мектеп математика курсында логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктердің қарапайым, дербес
Қорыта келгенде оқу үрдісінде әр түрлі тәсілдерді пайдалану сабақтың
Пайдаланылған әдебиеттер

Көбесов А. «Математика тарихы» Алматы, «Қазақ университеті», 1993.

Биляров Т. Н. «Элементар математика есептер жинағы» Алматы, 1992

Сканави М. И. «Математикадан конкурстық есептер жинағы». Аударғандар: Меңдіғарина
Айдос, Е. Ж. Балықбаев Т. О. «Математика» Алматы 2006.

«Математика және физика» журналы N1; N2; N3 2008, Алматы.

«Математика және физика» журналы N1; N2; N3; N4; N5;
«Математика және физика» журналы N4; N5; N6 2008, Алматы.

«Математика және физика» журналы N1; N2; N3 2006, Алматы.

«Математика және физика» журналы N1; N2; N3 2007, Алматы.

Болтянский В. Г. И др. Лекции и задачи по
Ваховский Е. Б. И др. Задача по элементарной
Виленкин Н. Я. и др. Задачник практикум по элементарной
Дорофеев Г .В. и др. Пособие по математике для
Сканави М. И. и др. Элементарная математика. М. 1974.
Темірғалиев Н., Әубәкір Б., Баилов Е., Потапов М.К., Шерниязов
Темірғалиев Н. Математикалық анализ, 1 т., А, «Мектеп», 1987.

Әбілқасымова А.Е., Бекбоев И.Б., Абдиев А.А., Жұмағүлова З.Ә. Алгебра
Жайнибекова М., Воказе К., Темірғалиев Н. Жаңа тақырыпқа арналған
Эйлер Л., Введение в анализ бесконечных., Т.1., Физматгиз, М.,
Сатыбалдин С.С. Қазақстан Республикасының жалпы білім беретін мектептердегі экономикалық
Кулибаба И.И. Школьная программа, как основа определения результатов обучения.
Кузнецова А.В. требования к знаниям и умениям школьников. Москва
Экономика негіздері. Бизнес бастамасы. 6 сынып оқу құралы:

Попов В. Д. Экономика плюс педагогика. Очерки об. экономическом
Аганина Қ. Ж. Жеке тұлғаны әлеуметтендіруге экономикалық білімнің
Сатыбалдин С.С., Аганина Қ. Ж. «Организационно – педагогические вопросы
Алдамұратова Т.А. Математика; Жалпы білім беретін мектептің 5-сыныбына арналған
Баймұханов Б. Жалпы білім беретін мектептің 6-сыныбына арналған байқау
Баймұханов Б. Жалпы білім беретін мектептің 7-сыныбына арналған байқау
Баймұханов Б. Жалпы білім беретін мектептің 8-сыныбына арналған байқау
Сатыбалдин С.С. Қазақстан Республикасының Жадпы білім беретін мектептердегі экономикалық
Арын Е., Сатыбалдин С., Аганина Қ., Қасимова Ж. Қазақстан
Аганина Қ. Ж. Экономикалық білім беру – заман талабы
Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия 11 Учебник для классов
Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия 11. Задачник для общеобразовательных
Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии для 11 класса
2

ab

b

y

x

y=logax

a>1

a)

x

y

0

y=logax

01

1

0

ab

b

б)

а)

у=ах

1

x

y

0

у=ах

1

б)

b

ab

x

y

0

y=logax

01

у=logax

а>1

1

у=logax

0б)

x

y

0

1

+

-

-

0

2

4

+

-

-

y

x

1

-1

4

2

1

0

2

y

x

1

-1

0

1

2

3

4