TOPREFERAT.COM.KZ - Қазақша рефераттар

войти на сайт

вход на сайт

Логин: :
Пароль :

Забыл пароль Регистрация

Модуль және оның қасиеттері курстық жұмыс




Модуль және оның қасиеттері курстық жұмыс
0
Раздел: Соңғы қосылған | Автор: Админ | Дата: 13-03-2015, 12:06
Загрузок: 4341





Жоспар

Кіріспе 3

I. Модуль және оның қасиеттері 4

1.1. Түсінік және анықтама 4

1.2. Теореманың дәлелдемесі 4

II. Модуль таңбасымен берілген теңдеулерді шешу әдістері 7

2.1. Модуль таңбасымен берілген теңдеулерді шешу әдістері 7

2.2. а және b сандарының модульдері мен квадраттарының арасындағы байланыс арқылы шешу 13

2.3. Модулі бар теңдеулерді аралықтарға бөлу арқылы шешу 14

2.4 Берілген теңдеуді мәндес теңсіздік және теңсіздіктер жүйесімен алмастыру 20

2.5. Модуль ішіндегі модульмен берілген теңдеу 22

Қорытынды 25

Пайдаланылған әдебиеттер 26



Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Жұмыс көлемі: 25 бет
Пәні: Соңғы қосылған курстық жұмыстар

-----------------------------------------------------------------------------------

КУРСТЫҚ ЖҰМЫСТЫҢ ҚЫСҚАРТЫЛҒАН МӘТІНІ
Жоспар

Кіріспе 3

I. Модуль және оның қасиеттері 4

1.1. Түсінік және анықтама 4

1.2. Теореманың дәлелдемесі 4

II. Модуль таңбасымен берілген теңдеулерді шешу әдістері 7

2.1. Модуль таңбасымен берілген теңдеулерді шешу әдістері 7

2.2. а және b сандарының модульдері мен квадраттарының арасындағы
2.3. Модулі бар теңдеулерді аралықтарға бөлу арқылы шешу 14

2.4 Берілген теңдеуді мәндес теңсіздік және теңсіздіктер жүйесімен алмастыру
2.5. Модуль ішіндегі модульмен берілген теңдеу 22

Қорытынды 25

Пайдаланылған әдебиеттер 26

Кіріспе

Тұрмыста кейбір шамалардың (ұзындықтың, массаның, температураның) өзгерістерінің сан мәні
Жазылуы:|20|=20, |-20|=20

Оқылуы:20 немесе -20 санының модулі 20-ға тең.

Модуль - латынның modulus деген сөзі-«мөлшер»дегенді білдіреді. Кейбір жағдайда
Архитектурада-бұл өлшем бірлігі,архитектура құрылыстары үшін орнатылады және оның элементтер
Техникада-бұл термин,техниканың әрбір аймағында қолданылады,универсаль емес мән мен әртүрлі
Физикада-көлем қысымдылық модулі-материал ішінде нормаль күштің ұзындығына қатынастығы үшін
I. Модуль және оның қасиеттері

1.1. Түсінік және анықтама

Бұл тақырыпты кеңірек оқып үйрену үшін, маған қажет болатын
Теңдеу- бұл айнымалысы бар теңдік.

Модуль таңбасы бар теңдеу- айнымалысы модуль таңбасы немесе абсолют
Теңдеуді шешу- бұл барлық түбірді табу немесе түбірі жоқ
Математикада модульдің әртүрлі мағынасы бар,мен өзімнің зерттеу жұмысымда тек
Модуль-санның абсолют шамасы,сандық түзуде санақ басынан берілген санға сәйкес
1.2. Теореманың дәлелдемесі

Анықтама: а санының модулі немесе а санының абсолют
a, егер а≥0

|a|=

-а,егер аАнықтамадан кез келген нақты а саны үшін |a|≥0 екендігі
Теорема 1.Кез келген а≠0 нақты санының абсолют шамасы а
Дәлелденуі

1.Егер а оң сан болса,онда –а теріс сан,
Мысалы: 5 оң сан, -5 теріс сан және -5Бұл жағдайда |a|=a, яғни |a| мәні а және –а
2.Егер а теріс сан болса, онда –а оң
Салдар1. Теорема бойынша |-a|=|a|. Бұл жағдайда |-a| және |a|
Салдар2. Кез келген нақты а саны үшін а ≤
Екінші теңсіздікті (-а ≤ |a| )-1-ге көбейтсек (бұл жағдайда
-|a| ≤ a ≤ |a| қос теңсіздігін аламыз.

Теорема2. Кез келген нақты а санының абсолют шамасы а2
Бұл жағдайда а≥0 болса, анықтама бойынша |a|=a,екінші жағынан а≥0,

=a, яғни |a|=

Егер аБұл теореманы пайдаланып |a| ны пен
|a|
1-сурет


II. Модуль таңбасымен берілген теңдеулерді шешу әдістері

2.1. Модуль таңбасымен берілген теңдеулерді шешу әдістері

Модуль таңбасымен берілген теңдеуді шешу үшін, біз санның модулінің
Модуль белгісінің астында айнымалы шама болатын теңдеулерді шешудің мектеп
1.Модульдің геометриялық мағынасын пайдалану

2.Графиктік әдіс

3.Анықтама бойынша модульді ашу

Модуль таңбасымен берілген теңдеуді шешуде модульдің геометриялық мағынасын пайдалану.

|x-a| модулінің геометриялық мағынасы-координаталық түзуде х және а
Мысал: |x-1|+|x-2|=1 модульдің геометриялық мағынасын пайдаланып теңдеуді шешейік.Ол
Жауабы: x [1;2]

Мысал: |x-1|-|x-2|=1 теңдеуін шешейік.

Бұл теңдеудің сол жағындағы өрнек бойынша х нүктесінен қашықтығы
Жауабы: x [2;∞)

Бұл мысалдардан мынадай қорытынды жасадым.

|x-a| + |x-b|=b-a, егер b≥a a≤x≤b

|x-a| - |x-b|=b-a, егер b≥a
Графиктік әдіс

Модуль таңбасымен берілген теңдеулерді шешудің бір әдісі –графиктік әдіс.
Анықтама бойынша модульді ашу

Модуль таңбасымен берілген теңдеуді шешудің тағы бір әдісі-модуль анықтамасы
f(х),егер f(х)≥0 болса

|f(х)|=

-f(х),егер f(х)1-мысал.Теңдеуді шешу керек: |2x-5|=1

Шешуі:1-ші тәсіл.|a-b| модулінің геометриялық мағынасы-түзудегі а мен b нүктелерінің
Біздің мысалымызда түзу бойында 5 санына сәйкес нүктеден 2х-ке
4
2-тәсіл.Анықтама бойынша |f(х)|= f(х),f(х)≥0

-f(х), f(х)≤0

Болатындықтан модульді ашамыз, егер өрнек теріс емес болса, онда
Жауабы:2және 3.

Егер модуль таңбасымен берілген өрнек оң а санына тең
3-әдіс. y=|2x-5|, y=1 функцияларының графигін сызамыз.y=|2x-5| функциясында x=2,5 болғанда
2-мысал. 1+|x|=0.5 теңдеуін шешу керек.

1-әдіс.Теңдеуді түрлендірсек |x|=0.5-1 мәндес теңдеу шығады, бұдан |x|=-0.5 болады,
Жауабы: құр жиын.

2-әдіс. х≥0
1+х=0.5
x1-x=-0.5
Яғни берілген теңдеудің шешімі жоқ.

Жауабы: құр жиын.

3-әдіс.1+|x|=0.5
y=|x| және y=-0.5 графиктерін саламыз, олар қиылыспайды, олай болса
Жауабы : құр жиын.

3-мысал. |x2 +3x|=2(х+1) теңдеуін шеш.

Шешуі: Бұл теңдеуге мәндес жүйе аламыз, яғни

x2+3x=±2(х+1)
x2+5x+2=0
х+1≥0
Жауабы: ;1
4-мысал. x2 -4х+|x-3|+3=0 теңдеуін шеш.

Координаталық ості екі бөлікке бөліп, сол бөліктерге сәйкес теңдеу
x|x-3|= -x+3
x2 -4x-x+3+3=0
x2 -5x+6=0
x1 =2, x2 =3
x=3-бөгде түбір,ол
(-∞;3) аралығына тиісті емес.
Яғни берілген теңдеудің екі шешімі бар, олар x1 =2,
Жауабы: x1 =2, x2 =3.

5-мысал. Теңдеуді шеш: |2x+8|-|x-5|=12

Шешуі: Екі модульді де ашқанда үш жағдайға келеміз. (х+4≤0,
2|x+4|-|x-5|=12 x+4≤0
x-5≤0
-2x-8+x-5=12
x+4>0
x-5≤0
2x+8+x-5=12
x+4>0
x-5>0
2x+8-x+5=12

Жауабы:{-25;3}.

6-мысал: теңдеуді шеш 3|x+2|+x2 +6x+2=0

Шешуі: Екі жағдайды қарастырамыз.

1) х+2≥0
х=-1

x2 +9x+8=0
2) х+2x=-4

x2 +3x-4=0
Жауабы: (-4;-1)

7-мысал: теңдеуді шеш |4-x|+| (х-1)(х-3)|=1

Шешуі:1-әдіс.|4-x|=|x-4| теңдігін пайдаланып, төрт жағдайды қарастырдым.

1) x – 4 ≥ 0
x ø ,

x-4+x2 -4x+3=1
яғни 2) 3 x ø.

4-x+x2 -4x+3=1
3) 1 ≤ х ≤
х=3
4-x-x2 +4x-3=1
4) xx ø

4-x+x2 -4x+3=1
Жауабы: x=3.
2-әдіс .

y=| (х-1) (х-3) |, y=1-|x-4| функцияларының графигін
1) y=| (х-1)(х-3) | функциясында х1 =1 және х2
y2 =0 болады,яғни ох осімен (1;0), (3;0) нүктелерінде
х0 = =2, y0 =| (2-1)(2-3)|=1,
у=| (х-1)(х-3) | функциясының графигін саламыз.

2) у=1-|x-4| функциясының графигін салу үшін оның ох осімен
x=5
Яғни бұл график ох осімен (5;0), (3;0) нүктелерінде қиылысады.х=4
Жауабы:3.

2.2. а және b сандарының модульдері мен квадраттарының арасындағы
Бұл әдіс берілген сандардың модульдері мен квадраттарының арасындағы мәндестікке
|a|=|b|
a2 =b2
Бұдан бірінші кезекте

|a|=|b|
Мысал: |x+1|=|2x-5| теңдеуін әртүрлі екі әдіспен шешу керек.

1. (1)-ші сәйкестік бойынша

x+1=2x-5 немесе
x-2x=-5-1
-x=-6
x=6
Бірінші теңдеу түбірі x=6, екінші теңдеу түбірі x=1
2. (2)-ші сәйкестік бойынша

(х+1)2 =(2х-5)2
x2 +2x+1-4x2 +20x-25=0,

-3x2 +22x-24=0 | (:(-1))

3х2 -22х+24=0

=121-3*24=121-72=49>0 теңдеудің әртүрлі екі түбірі бар.

х1 = = =1

x2 = = =6

Бұл жағдайда да теңдеу түбірі х=6; x=1 .

Мысал: (2х+3)2=(х-1)2 теңдеуін шешу керек.

(2) қатынас бойынша |2x+3|=|x-1| теңдеуін аламыз, бұдан (1) қатыс
2х+3=x-1 немесе
2x-x=-1-3
x=-4
Берілген теңдеу түбірі х1 =-4, x2 =-
Мысал: |x-6|=|x 2 -5x+9| теңдеуін шешейік.

(1) қатысты пайдалансақ, берілген теңдеу

x-6=x2 -5x+9 немесе
-х2 +5х+х-6-9=0
x2 -6x+15=0
D=36-60=-24түбірі жоқ
х1 = =1; x2 = =3

Тексеру: |1-6|=|12 -5*1+9|
|-5|=|5|
5=5 тура
Жауабы: x1=1; x2 =3 .

2.3. Модулі бар теңдеулерді аралықтарға бөлу арқылы шешу

Аралықтарға бөлу әдісі бойынша теңдеулерді шешу үшін мына алгоритмді
1)Модуль таңбасының ішіндегі өрнектерді нольге теңестіріп, теңдеуді шешу;
2)Теңдеулердің түбірлерін қолданып,сан түзуін аралықтарға бөлу;

3)Модуль анықтамасын ескеріп, әрбір жеке интервалда берілген теңдеуді шешу;

4)Теңдеудің шешімдерінің қарастырылып отырған аралыққа тиісті болатынын тексеру;

5)Тиісті түбірлерді берілген теңдеудің түбірі ретінде алу;

Берілген алгоритмнің қолданылуына мысалдар қарастырайық.

1-мысал.|x-2|+|x-3|+|2x-8|=9 теңдеуін шешейік. Шешуі: Алгоритм бойынша, алдымен
x-2=0
x-3=0
2x-8=0 теңдеулерін шешеміз.Сонда
Табылған түбірлерді сан түзуінде белгілеп, (-∞;2), [2;3), [3;4), [4;∞)
1
Берілген теңдеуді әрбір аралықта шығарамыз.

1)Модульдің анықтамасы бойынша (-∞;2) аралығында

|x-2|=-(х-2), |x-3|= -(х-3), |2x-8|=-(2х-8)
Бұл түбір (- ∞;2) аралығына тиісті. Яғни, қарастырылған аралықта
2) Модульдің анықтамасы бойынша [2;3] аралығында |х-2|=x-2,

|x-3|=-(х-3), |2x-8|=-(2х-8). Сонда берілген теңдеу х-2-(х-3)-(2х-8)=9 теңдеуімен
0 [2;3). Яғни бұл түбір қарастырылып отырған аралыққа
3)[3;4) аралығында модулің анықтамасы бойынша |x-2|=x-2, |x-3|=x-3,

|2x-8|=-|2x-8|, x-2+x-3-(2х-8)=9 болады, бұдан х=6. Берілген
4)[4;∞) аралығында модуль анықтамасы бойынша |x-2|=x-2,
|2x-8|=2x-8,

x-2+x-3+2x-8=9,

4x-13=9,

4x=22,

x=5.5, 5.5 [4;∞).
Жауабы:1 және 5,5.

2-мысал. | |=3 теңдеуін шешейік.

1) =0, 2х+5=0,
Яғни х≠7 болғандағы теңдеудің түбірі 2,5.Бұл сан түзуін аралықтарға
-2,5
(∞;-2.5), [-2.5;7), (7;∞) үш аралыққа бөлінеді. Берілген
1)Модульдің анықтамасы бойынша (-∞;-2.5) аралығында >0

=3;

2x+5=3x-21,

x=26, 26 (-∞;-2.5). Яғни қарастырылып
2)[-2.5;7) аралығында модульдің анықтамасы бойынша ≤0,
| |=- ;

- =3,

-2х-5=3x-21,

5x=16,

x=3.2.

3.2 [-2.5;7). Яғни қарастырылған аралықта берілген
3) (7;∞) аралықта модульдің анықтамасы бойынша >0;
| |= ;

=3;

2x+5=3x-21;

x=26, 26 (7;∞). Яғни қарастырылған
Сонымен берілген теңдеудің х=3,2 және х=26 болатын екі
Жауабы:3,2 және 26.

3-мысал. х2 -5|х|=0; x=0
0

(-∞; 0), х2 -5(-х) =0;

x2 +5x=0;

x=0; x=-5; -5 (-∞;0),
2)[0;∞), |x|=x, х2 -5x=0,

x(х-5)=0,

x=0, x=5.

0 [0;∞), 5 [0;∞) яғни [0;∞) аралығында
Сонымен берілген теңдеудің x=-5, x=0, x=5 үш
4-мысал. 3х +9-|9-3x |=|x-6|+x;

9-3x =0
x- 6=0
2
1)(-∞;2) аралықта (9-3х)>0,

|9-3x|=9-3x,

|x-6|=-(х-6),

3х+9-9+3х=-(х-6)+х;

2*3 =6,

3x=3,

x=1, 1 (-∞;2) яғни берілген теңдеудің
2)[2;6) аралығында |9-3x |=-(9-3х ),
|x-6|=-(х-6)

3х +9+9-3х =-(х-6)+х;

18=6 тура емес. Яғни бұл аралықта теңдеу шешімі жоқ.

3)[6;∞) аралығында |9-3x |=-(9-3х ),

|x-6|=x-6,

3 x +9+9-3x =x-6+x,

18=2x-6,

2x=24,

x=12, 12 [6;∞).Яғни [6;∞) аралығында берілген теңдеудің
Сонымен берілген теңдеудің х=1 және х=12 болатын екі шешімі
5-мысал. |x2 -4|-|9-x2 |=5 теңдеуін шешейік.

1-тәсіл.

х2-4=0
9-x2 =0
-3 -2
1) (-∞;-3), |x2 -4|=x2 -4;
х2-4+9-х2 =5,
2)[-3;-2), х2 -4-9+х2 =5,

2x2=18,

x2=9,

x=±3,

3 [-3;-2), -3
3)[-2;2), -х2 +4-9+х2 =5, -5=5 тура емес,
4)[2;3), х2 -4-9+х2 =5,

x2=9,

x=±3

-3 [2;3), 3
5)[3;∞), х2 -4+9-х2 =5, 5=5 тура,яғни
Сонымен берілген теңдеудің шешімі екі аралықтың (-∞;-3] және [3;∞)
Жауабы:(-∞;-3] [3;∞)

2-тәсіл.(Мәндес теңсіздікпен алмастыру) жаңа айнымалы енгізсек

|x 2 -4|=|f| |9-x2 |=|q|
|f|-|q|=|-f-q| |-f-q|+|q|=|f|
Бұдан (х2 -4+9-х2 )*(-(9-х2 ))≥0;

5*(х2 -9)≥0
x (-∞;-3] [3;∞)
Бұл әдіс алдыңғы әдіске қарағанда тиімді деп ойлаймын.Аралықтарға бөлу
2.4 Берілген теңдеуді мәндес теңсіздік және теңсіздіктер жүйесімен алмастыру

Модуль таңбасы бар теңдеулерді шешудің ең сенімді әдістері интервалдар
1. a) |f|+|q|=|f+q| түріндегі теңдеулер мен f*q≥0 теңсіздіктері мәндес,
|f|+|q|=|f+q|
б) |f|-|q|=|-f-q|
2. а)|f|+|q|=f+q түріндегі теңдеулер мен
q≥0 теңсіздіктер жүйесі мәндес болады,

яғни |f|+|q|=f+q
q≥0

Демек, (1), (2) түрдегі теңдеулерді және осы түрге
1-мысал. |5x-3|+|3x-2|=|2x-1| теңдеуін шешейік.

Теңдеудің оң жағы |2x-1|≠|(5х-3)+(3х-2)| екендігі көрініп тұр. |q|=|-q| тепе
5х-3=0
-3x+2=0 x=
Шешімі [ ; ] болады, яғни берілген
2-мысал.|x2 -2x-1|-|2x+3-x2 |=2 теңдеуін шешу керек, ол үшін
|x2 -2x-1+2x+3-x2 |+|-(2х+3-х 2 )|=|x-2 -2x-1| теңдеуімен мәндес болады.
х2 -2х-3≥0; x1 =-1; x2 =3

Теңсіздік шешімі (-∞;-1] [3;∞) болады, яғни берілген теңдеу
Жауабы: (-∞;-1] [3;∞)

3-мысал.|1-sinx|+|sinx+1|=2 теңдеуін шешейік. 2-тұжырымдама бойынша

|1-sinx+sinx+1|=2 орындалып тұр, олай болса бұл теңдеу
1-sinx≥0

sinх+1≥0 теңсіздіктер жүйесімен мәндес.

у=sinх функциясының анықтамасы

sinx≤1

sinх≥-1 |sinx|≤1 бойынша х
Жауабы: (-∞;∞)

Модуль таңбасы бар теңдеулердің дербес жағдайлары үшін бұл әдіс
5 Ж.Мұқажанов «Математика және физика» №6-2005 ж.12 бет.

2.5. Модуль ішіндегі модульмен берілген теңдеу

1-мысал. ||3-2x|-1|=2|x| теңдеуін шешу керек.

Анықтаманы пайдаланып, алдымен «ішкі» модульді ашамыз.

3-2х≥0
|3-2x-1|=2|x|
x ≤
|1-x|=|x|
Теңдеудің екі жағын да квадрат дәрежеге шығару тиімді.

x≤
x ≤
1=2x
(-∞; ], 1 (
2-мысал. ||x+4|-2x|=3x-1 теңдеуін шешу керек. Анықтаманы пайдаланып, 1-тәсіл бойынша
||x+4|-2x|=3x-1
|x+4-2x|=3x-1 |-x-4-2x|=3x-1 |4-x|=3x-1
x≥-4
4-x≥0
4-x=3x-1
x ≥-4
x ≤4
x=
[-4;4]

-4
-4 -
-4 -
-4
Қорытынды

Модуль таңбасы астында берілген теңдеулерді шешу басқа теңдеулерді шешуге,яғни
Пайдаланылған әдебиеттер

1. Т.А.Алдамұратова, Т.С.Байшоланов «Математика-6» Алматы «Атамұра» 2006 ИБ №064
2. Е.Ж.Айдос, Т.О.Балықбаев «Математика-жоғары оқу орнына түсушілерге арналған» Алматы-2006
3. В.А.Гусеев, А.Г.Мордкович «Математика» Алматы «Ана тілі» 1993 ж.
4. А.Е.Әбілқасымова, И.Б.Бекбоев «Алгебра және анализ бастамалары-11» Алматы «Мектеп»
5. Ж.Мұқажанов «Математика және физика» №6-2005 12 бет.

6. Н.Б.Васильев, А.А.Егоров «Задачи всесоюзных математических

олимпиад» Алматы «Ана тілі»-1991 ж.

Т.А.Алдамұратова «Математика-6» Алматы «Атамұра»2006 ИБ №064 82,84 бет

Е.Ж.Айдос «Математика-жоғары оқу орнына түсушілерге арналған» Алматы-2006 ЖШС РПБК
Е.Ж.Айдос «Математика-жоғары оқу орнына түсушілерге арналған» Алматы-2006 ЖШС РПБК
В.А.Гусеев «Математика»Алматы «Ана тілі» 1993 ж. ИБ №252 29,110,113,114
А.Е.Әбілқасымов «Алгебра және анализ бастамалары-11» Алматы «Мектеп»2007 ж.162,166,167 бет.

Н.Б.Васильев «Задачи всесоюзных математических олимпиад» Алматы «Ана тілі»-1991 ж.

- 3 -

2 2,5
|2x-5|=1

x=2

x≤2.5

x=3

x≥2.5

-(2х-5)=1

2х-5=1

2х-5=1

2х-5≥0






Написать комментарий
Имя:*
E-Mail:
Полужирный Наклонный текст Подчеркнутый текст Зачеркнутый текст | Выравнивание по левому краю По центру Выравнивание по правому краю | Вставка смайликов Выбор цвета | Скрытый текст Вставка цитаты Преобразовать выбранный текст из транслитерации в кириллицу Вставка спойлера
Введите код: *


Бұл сайтта Қазақстанның түкпір-түкпірінен жиналған қазақ тіліндегі рефераттар мен курстық және дипломдық жұмыстар ұсынылған. Қазіргі таңда www.topreferat.com.kz сайтының қазақ тіліндегі жұмыстар базасы бүкіл интернеттегі ең үлкен база болып табылады! Біздің базадағы жұмыстар саны 15000-нан асады. Біз бұл жетістікпен тоқтап қалмаймыз! Біз базамызды одан әрі толықтырамыз.
» » Модуль және оның қасиеттері курстық жұмыс

© 2011-2016 Скачать бесплатно на topreferat.com.kz курсовые, дипломные и рефераты на телефон, на планшет и на компьютер.
При копировании материала активная ссылка на источник обязательна.


Мнение посетителей:
 

После 9 класса Вы:

Пойду в 10, 11, закончу школу полностью
Пойду в Колледж
Пойду в ПТУ
Пойду работать
Снова пойду в 9 класс

 
 
Похожие:
  • Функция диплом жұмысы
  • Теңдеулер мен теңдеулер жүйелері диплом жұмысы
  • Логарифм диплом жұмысы
  • Матeмaтикaлық үйірмедегі сабақтар диплом жұмысы
  • Жылу өткізгіштік теориясының негіздері диплом жұмысы
  • Шектеусіз үздіксіз бөлшектердің қолданылуы диплом жұмысы
  • Стандартты емес теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді оқыту әдістемесі диплом ...
  • Стандарт емес есептерді шешу диплом жұмысы
  • Жоғары дәрежелі теңдеулер диплом жұмысы
  • Дифференциалдық теңдеулерді оқытудың әдістемесі курстық жұмыс
  • Қуысты ортада газдың белгіленбеген қозғалысы курстық жұмыс
  • Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу курстық жұмыс
  • Мектеп математика курсындағы бөлшектер ұғымы курстық жұмыс
  • Математиканы тереңдетіп оқытудағы туынды қолданылуының ерекшеліктері курсты ...
  • Есеп шешудің әдістемесі курстық жұмыс
  • Дифференциалдық теңдеулерді мектепте оқыту курстық жұмыс
  • Анықталмаған теңдеулерді шешудің жаңа әдістері курстық жұмыс
  • Алгебра курстында көрсеткіштік функция тақырыбын оқыту курстық жұмыс
  • Функция ұғымы реферат
  • Теңдеулер жүйесі реферат