Кеңістіктегі нүктелердің геометриялық орны курстық жұмыс
МАЗМҰНЫ - www.topreferat.com.kz
Кіріспе
1. Жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орыны
1.1. Нүктелердің геометриялық орыны туралы түсінік
1.2. Қарапайым геометриялық орындарға шолу
1.3. Геометриялық орынды іздеу
Кеңістіктегі нүктелердің геометриялық орыны
2.1. Негізгі геометриялық орындар
2.2. Екінші ретті беттер нүктелердің геометриялық орыны ретінде
2.3. Цилиндрлік бет нүктелердің геометриялық орыны ретінде
2.4. Геометриялық орын әдісі
3. Аполлония шеңбері
4. Геометриялық орындарды аналитикалық геометрия әдістерімен іздеуге мысалдар
5. Геометриялық орын әдісімен салу есептерін шығару
Практикада қолданылуы
Қорытынды
Қолданылған әдебиеттер тізімі
Қосымша
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Жұмыс көлемі: 49 бет
Пәні: Соңғы қосылған курстық жұмыстар
-----------------------------------------------------------------------------------
КУРСТЫҚ ЖҰМЫСТЫҢ ҚЫСҚАРТЫЛҒАН МӘТІНІ
МАЗМҰНЫ
Кіріспе
1. Жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орыны
1.1. Нүктелердің геометриялық орыны туралы түсінік
1.2. Қарапайым геометриялық орындарға шолу
1.3. Геометриялық орынды іздеу
Кеңістіктегі нүктелердің геометриялық орыны
2.1. Негізгі геометриялық орындар
2.2. Екінші ретті беттер нүктелердің геометриялық орыны ретінде
2.3. Цилиндрлік бет нүктелердің геометриялық орыны ретінде
2.4. Геометриялық орын әдісі
3. Аполлония шеңбері
4. Геометриялық орындарды аналитикалық геометрия әдістерімен іздеуге мысалдар
5. Геометриялық орын әдісімен салу есептерін шығару
Практикада қолданылуы
Қорытынды
Қолданылған әдебиеттер тізімі
Қосымша
КІРІСПЕ
Геометриялық орын түсінігі айтарлықтай әдістемелік және білім беру
Геометриялық орын әдістері қолданылатын есептерді шешуде кеңістікте алдымен
Нүктелердің геометриялық орыны — басқа әр түрлі
Нүктелердің геометриялық орыны деп бірнеше қасиеттерге ие
Жазықтықта тек нүктелердің геометриялық орыны деп қарастырсақ, ал
Сондықтан кеңістікте геометриялық орын дегеніміз — орны бір
Бұл жұмыста кеңістіктегі нүктелердің геометриялық орнына көбірек тоқталамыз,
Курстық жұмыстың мақсаты: жазықтықта немесе кеңістікте болсын нүктелердің
Зерттеу объектісі негізінен нүктелер және олардың әртүрлі ортадағы
1.ЖАЗЫҚТЫҚТАҒЫ НҮКТЕЛЕРДІҢ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ОРЫНЫ.
1.1. Нүктелердің геометриялық орыны туралы ұғым.
Геометриялық денелер әртүрлі тәсілмен берілуі мүмкін. Денелердің
Мысалы: Кез-келген АВ кесіндісін былай
1-сурет.
Егер дене тек қана осы денеге тиісті нүктелердің
Бұдан берілген қасиеттерге ие болатын
Біздің мысалда АВ кесіндісі l түзуіне параллель болатын
Геометриялық денелер геометрияға жаңадан көбінде тек осы геометриялық
Мысалға шеңбер — мектептегі геометрия курсында, эллипс, гипербала
Аналитикалық геометрияда сызықтардың теңдеулерін құруда оларды нүктелердің геометриялық
Нүктелердің геометриялық орыны тек қана сызық немесе бірнеше
Ф – дененің әр нүктесі бұл қасиеттерге ие.
Аталған қасиеттерге ие болатын әр нүкте Ф денеге
1.2. Қарапайым геометриялық орындарға шолу.
Жазықтықтағы өте қарапайым нүктелердің геометриялық орыны мектепте геометрия
1.О нүктесінен r қашықтықта жататын нүктелердің геометриялық орыны—
2. Берілген екі нүктеден де бірдей қашықтықта жататын
2-cурет. геометриялық орыны кейде берілген нүктелердің симметриалі
3. Берілген түзуден h қашықтықта орналасқан нүктелердің геометриялық
3-сурет. болатындай р түзуін жүргіземіз.
4. Екі параллель түзуден бірдей арақашықтықтағы нүктелердің геометриялық
Бұл геометриялық орыны салу үшін а және в
4-сурет. жүргіземіз. Осы кесіндінің ортасын тауып, сол нүктеден
5. Қиылысатын екі түзуден бірдей қашықтықтағы нүктелердің геометриялық
5-cурет. табылады(5-сурет).
1.3. Геометриялық орынды іздеу.
Қандайда бір қасиетке ие болатын нүктелердің геометриялық орыны
Нүктелердің геометриялық орынын табуға арналған тапсырмаларды шешу әдетте
Анализ жасаудың мақсаты — ізделінді нүктелердің геометриялық орыны
Анализ жасау әдетте чертежда берілген денені салады және
Дәлелдеу барысында екі өзара кері сөйлемдерді түсінеміз:
Зерттеу есепті шешу барысында мүмкін пайда болатын, осы
2. КЕҢІСТІКТЕГІ НҮКТЕЛЕРДІҢ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ОРЫНЫ.
2.1. Кеңістіктегі негізгі геометриялық орындар.
Қарапайым геометрия курсында және өмірде де кездесетін геометриялық
Енді осы айтылған кеңістіктегі нүктелердің геометриялық орындарының біразын
I.О нүктесінен бірдей а қашықтықта жатқан нүктелердің геометриялық
II.в түзуінен бірдей а қащықтықта жатқан нүктелердің геометриялық
бағыттаушы шеңбердің радиусы – а, бұл
III. жазықтығынан бірдей қашықтықтағы (екі жағынан да)
IV.А және В нүктелерінен бірдей қашықтықта жатқан нүктелердің
V.Екі түзуден бірдей арақашықтықта жатқан нүктелердің геометриялық орыны.
Екі түзу кеңістікте параллель орналасуы, қиылысуы немесе айқасуы
а) а және в түзулері қиылысады. қиылысатын екі
б) а және в түзулері параллель. Мұнда
береді(4-сурет).
в) а және в түзулері айқасады. Мұндай жағдайда
Бұл геометриялық орындардың қасиеттерін анықтау үшін былай талқылаймыз:
Енді а және в айқас түзулерін қиятын
Осылайша бірдей қашықтықта жататын шексіз көп түзулерді
VI.(, ( қиылысатын екі жазықтықтан бірдей қашықтықта жататын
VII. Үш нүктеден бірдей қашықтықта жатқан нүктелердің геометриялық
а)Берілген А, В және С нүктелері бір түзудің
б) Берілген А, В,С нүктелері бір түзудің бойында
VIII. Үш түзуден бірдей қашықтықта жатқан нүктелердің геометриялық
а) Үш түзу (бір α жазықтықта жататын) бір
8-сурет. геометриялық орны – қиылысу нүктесі
б) Үш түзу α жазықтықта қос-қостан қиылысады.Ізделінді геометриялық
9-сурет. және сыртқы бұрыштардың биссектрисалары
қиылысатын
нүктеден өтетін төрт түзу болады(k,l,m,n)(9-сурет).
в) Екі түзу параллель және үшіншісі сол екі
г) Бір α жазықтықта жататын үш өзара параллель
түзуде жататын ешқандай нүкте жоқ, яғни нүктелердің геометриялық
д) Үш түзу (а,в,с) Ѕ нүктеде қиылысады, бірақ
Мұндай жағдайда, әр түзуден бірдей қашықтықта жататын нүктелердің
Бұл геометриялық орынды салу үшін а және в
α және β жазықтықтары γ,σ және ε,ρ жазықтықтарымен
е) а,в,с үш түзуі әр түрлі жазықтықта өзара
Бұл үш жазықтықты алу үшін V,б - геометриялық
IX. Үш жазықтықтан бірдей қашықтықта жатқан нүктелердің геометриялық
а) α,β,γ жазықтықтары бір нүктеде қиылысады. Бір нүктеде
б) α,β және γ жазықтықтары параллель түзулер арқылы
Параллель түзулер арқылы қиылысатын үш жазықтықтан бірдей қашықтықта
орналасқан нүктенің геометриялық орны – қиылысу түзулеріне параллель
в) Екі α және β жазықтықтары параллель, ал
Мұндай жағдайда ізделінді геметриялық орын – екі түзу.
14-сурет. болсын (VI, б –г.о.) (14-сурет).
Енді α1,γ2 және γ3 жазықтықтары а түзуі арқылы,
г) Үш жазықтық өзара параллель болады.
Мұндай жағдайда үш жазықтықтан біруақытта бірдей арақашықтықта ешқандай
д) Үш жазықтық бір түзу арқылы
Х. Берілген екі жақты бұрышқа жүргізілген түзулердің параллель
α және β жазықтықтары а түзуі арқылы қиылысатын
; m және n – берілген сан
Енді N1N2 – кез келген А1А2 –ге параллель
Енді N нүктесі γ жазықтығында жататынын дәлелдеу керек.
А1А2 және N1N2 арқылы өтетін және а түзуін
Бұрыштық N1N3N2-ның қабырғасын қиятын параллель кесінділерді берілген қатынаста
Салдар:
Екі жақты бұрыштың әрбіреуі қабырғасына дейінгі арақашықтықта жатқан
ХI. Берілген кесінді тікбұрышпен көрінетін нүктелердің геометриялық орны
Бұл геометриялық орын жазықтықтағы белгілі геометриялық орының табиғи
Егер берілген түзу қандай да бір түзуге тиісті
ХІІ. а) Берілген түзудегі S нүктесінен өтетін және
16-сурет. 17-сурет.
Дербес жағдайда:
(=0. геометриялық орын – берілген түзумен
беттесетін түзу болады.
(=900. геометриялық орын – берілген түзудегі нүктеден өтетін
б) Берілген S нүктеден өтетін және берілген α
Дербес жағдайда:
(=0. геометриялық орын – берілген жазықтыққа параллель және
(=900. геометриялық орын – берілген жазықтыққа перпендикуляр болатын
ХIII. а) Берілген жазықтық пен осы жазықтыққа перпендикуляр
Салдар. ( жазықтық пен осы жазықтыққа перпендикуляр а
қимасы нақты бұрышпен берілген, төбесі (
жазықтықпен а түзуінің қиылысу нүктесі, а түзуі осі
б) Әр нүктеден жазықтықта жатқан берілген нүктеге дейінгі
Берілген А нүктесі ( жазықтықта жатсын және М
( мен ( жазықтықының қиылысу болып табылатын
болғандықтан, ( жазықтығының әр нүктесінен А нүктесіне дейінгі
а және МА түзулері арасындағы бұрышты ψ деп
а түзуі арқылы тағы да (2,(3,..., жазықтықтарын жүргізуге
Осы (,(1,(2,..., жазықтықтардан алынған түзулерді ізделінді нүктенің геометриялық
Осыған орай ізделінді геометриялық орны төбесі А нүктеде
ХІV. Берілген сфераның тең хордаларының орталарының геометриялық орны
Бұл геометриялық орын сонымен қатар мына геометриялық орындардың
Берілген сферада тең хордаларды берілген қатынаста бөлетін нүктенің
Радиусы – R сфераны радиусы – r шеңбермен
XV. Берілген сфера ( бұрышпен көрінетін нүктелердің геометриялық
Сфераға тиісті емес нүктеден, оған көптеген жанамалар жүргізуге
20-сурет.
көрінетін бұрышы деп атаймыз.
Егер ( - берілген бұрыш, R – сфераның
Осы жерден келесі қорытындыны шығаруға болады: берілген радиусы
Жазықтықта берілген шеңбер ( бұрышпен көрінетін нүктелердің геометриялық
ХVІ. Әр нүктесінен берілген екі А және В
Бізге бұл геометриялық орынның формасы белгісіз болсын дейік.
АВ кесіндісі арқылы қандай да бір ( жазықтығын
АК2+ВК2=а2
АL║ВК және ВL║АК болатындай жүргізіп, АКВL параллелограммын аламыз
АВ және а ұзындықтары тұрақты болғандықтан, КL да,
АВ түзуі арқылы тағы да γ,δ,.., жазықтықтар жүргізіп,
Сондықтан, АВ түзуі арқылы өтетін жазықтықтар осы геометриялық
Ізделінді сфераның радиусын келесідей үлгіде салуға болады. а
21-сурет.
болатындай доғалар саламыз, С нүктесі осы доғалардың қиылысу
ХVІІ. Берілген А және В нүктесіне дейінгі арақашықтықтардың
23-сурет.
нүктесі арқылы өтетін, АВ түзуіне перпендикуляр және
қанағаттандыратын жазықтық болып табылады(23-сурет):
АС2-ВС2=а2
ХVIII. Берілген A және B нүктесінен арақашықтығы
AM:BM=m:n
және мұндағы m>n болсын (24-сурет).
АВ-дан С нүктесін мына қатынас орындалатындай табамыз:AC:CB=m:n. Бұл
AC:CB=АМ:МВ пропорциясынан МС – AMB үшбұрышының биссектрисасы, осыдан
AF:BF=AM:LM=AM:MB=m:n
Сондықтан, F нүктесі салумен оңай табылатын тұрақты нүкте.
Содан соң АВ-ның жалғасымен F нүктесі арқылы қиылысқанша
(CMF=900 болғандықтан, М нүктесі диаметрі CF түзуі болатын
А және В нүктесінен α жазықтықтың кез
Екінші ретті беттер нүктенің геометриялық орыны ретінде.
Кеңістікке геометриялық орындар туралы айтқанда, ІІ-ретті беттерді нүктенің
Екінші ретті беттер аналитикалық геометрияда кең түрде оқытылады.
Бұл беттер мыналар: шар, эллипсоид, бірқуысты және екіқуысты
Берілген нүктеге дейінгі және берілген түзуге дейінгі арақашықтық
Осыған ұқсас ІІ-ретті беттерге де анықтама беруге болады.
Кеңістіктен қандай да бір Ғ нүктесін және осы
Ғ нүктесіне дейінгі арақашықтардың берілген α жазықтыққа дейінгі
Дәлелдеу үшін Ғ нүктесі арқылы α жазықтығына перпендикуляр
Жоғарыда айтылған бұл қисық еЕнді Ғ нүктесі арқылы қандай да бір басқа
β1 жазықтығы қисық β жазықтығындағы қисыққа конгруэнтті және
Ғ нүктесі арқылы β2, β3..., жазықтықтар жүргізе отырып,
β, β1, β2,..., жазықтықтары пайда болған қисықтарды, ізделінді
Егер β жазықтығын ҒК бойынша айналдырсақ, онда d
Сонымен жоғарыда келтірілген беттердің нүктелердің гегометриялық орны ретінде
Ғ нүктесі арқылы α жазықтығына перпендикуляр емес, параллель
Бұл жағдайда біз айналу беттерін емес, беттердің жалпы
Егер берілген Ғ нүктесі α жазықтығында жатса, онда
Екінші ретті беттерді нүктенің геометриялық орыны ретінде және
Тағы да ІІ-ретті қисықтардың анықтамасын жазықтықта нүктелердің геометриялық
Егер біз нүктелердің геометриялық орнын жазықтықта емес, кеңістікте
Енді біз d түзуі және оған да, d-ға
Егер басында α жазықтық d түзуін және Ғ
Егер d түзуімен бағыттауыш α жазықтығының арасындағы бұрышты
е
2.3. Цилиндрлік беттер нүктелердің геометриялық орыны ретінде.
Түзу сызықтың бағыттауыш деп аталатын қандайда бір сызықты
Берілген анықтамаға шексіз көп цилиндрлік беттерді жатқызуға болады,
Оларды нүктелердің және түзулердің геометриялық орыны ретінде қарастыруға
( жазықтығын және оған паралель а түзуін алайық
Дәлелдеу үшін М нүктесі арқылы а түзуіне перпендикуляр,
( жазықтығына паралель, жоғарыдағы барлық қасиеттерді қабылдайтын (1,(2,...,
Сонымен қандай да бір түзу мен осы түзуге
Пайда болған цилиндрлік беттерді біруақытта берілген а түзуі
Қарастырылған цилиндрлік беттерді конгруэнтті екінші ретті беттердің геометриялық
2.4. Геометриялық орын әдістері.
Салу есептерін геометриялық орын әдістерімен шешкенде келесі жоспарға
Ең бірінші тапсырманың берілгенін дұрыс ұғынып және оны
Содан кейін тағы бір келесі жаңа шартты қабылдау
Үшінші рет тағы бір шартты алып қарастырамыз. Қандайда
Сонымен егер геометриялық орын бір ғана шарттпен берілген
Егер есептің шешуі жоқ болса, онда шартты қанағаттандыратын
Егер үш түрлі шартты қанағаттандырып, нүктелердің геометриялық орыны
Көп жағдайда геометриялық орын есептерінде кездесетін форма бізге
Осы сияқты жазықтықта да салу есептерін шешуде, стреометриялық
3. Аполлония шеңбері
Келесі есепті қарастырамыз: жазықтықтағы берілген екі
-сурет
түзуінде ізделініп отырған НГО-на жататын екі нүкте бар:
Енді -ізделінді НГО-ның еркін нүктесі болсын.
нүктесін және
Осыған ұқсас (2) және (3) қатынастарынан
Сонымен, ізделінді НГО-ның -еркін нүктесінен
-сурет
Енді кері сөйлемді дәлелдейміз: -шеңберінің әр
Егер -нүктесі және
-нүктесін және
Тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасына жүргізілген медиана гипотенузаның жартысына тең,
Біз және
-сурет
Сонымен, жазықтықтағы және
Егер саны
Бұл үшін кесіндісін
4. Геометриялық орындарды аналитикалық геометрия әдістерімен іздеуге мысалдар
Жазықтықтағы аналитикалық геомерияда сызық координаталары берілген
-сурет
Мысал 1: Жазықтықтағы берілген екі нүктеге дейінгі арақашықтығының
және - берілген екі нүкте болсын.
түзуін тікбұрышты координаталық жүйесінің абцисса осі, ал координаталық
Және сондықтан ізделінді НГО жазықтықтағы осындай нүктелерден құралады,
Алынған теңдеуде көрсетілген сипаттамалық қасиетке ие ие
яғни болса.
Егер болса, онда бұл нүктелер
Мысал 2: шеңбері және
-сурет
берілген шеңбердің центрі, болсын.
Бұл радиусы және центрі
5. Геометриялық орын әдісімен салу есептерін шығару
Геометриялық орын әдісінің маңыздылығы келесідей анықталады: Салу есептерін
Мысал1: және параллель
Анализ. Екі түзудің арақашықтығын деп
Ол және түзулерінен
Оның нүктесінен қашықтығы
Салу: түзуінен алынған еркін
Дәлелдеу: шеңбері және
-сурет
Зерттеу: Үш жағдай мүмкін.
нүктесі және түзулерінің
нүктесі және түзулерінің
нүктесі және түзулерімен
Мысал 2: Даналық биллиард столының диаметрінде (центрінен әртүрлі
сондықтан ның биссектрисасы.
Сонымен, есеп келесідей геометриялық салуға негізделеді: Бір бұрышының
-сурет
Анализ: ізделінді үшбұрыш (
Оның нүктесінен қашықтығы ға
Бұл нүктеден төбелеріне дейінгі қашықтықтарының
Салу: Кез-келген түзуде (
шеңберлерінің қиылысу нүктесін деп белгілейміз.
Дәлелдеуді анализде жүргізілген тұжырымнан анық көреміз.
Зерттеу: Анықтық үшін шеңберінің диаметрі болсын.
Сондықтан,
-сурет
Сонымен, болғанда есептің шешімі болады.
Сондықтан онда есептің шешімі жоқ.
Мысал 3: Төбесіндегі бұрышы, табаны және іштей сызылған
Анализ: ізделінді үшбұрыш, оның
Іштей сызылған шеңбердің О – центрін қарастырамыз. О
Бұдан басқа (
Сондықтан (центрдің екінші қасиеті).
Бірінші қасиетке ие болатын НГО
-сурет
Салу:
Кез-келген түзуден кесіндісін өлшеп аламыз;
-сурет
түзуіне парллель және одан бірдей қашықтықта жататын
бұрыш жаайтын сегменттер жұбын саламыз;
Айтылған геометриялық орындардың геометрилық орындары ретінде О нүктесін
шеңберлерін саламыз;
нүктелерінен шеңберіне жанасатындай
Бұл сәулелердің қиылысуын деп белгілейміз.
Зерттеу: Жоғарыда айтылған екі геометриялық орындардың қиылысу нүктелері
5,6,7 - қадамдар әрқашан орынды. Сқңғы мынадан
Сондықтан сәулелері мүмкін болатын ұқсас
Келесідей қорытынды жасауға болады: (1)шарты бойынша есптің жалғыз
ПРАКТИКАДА ҚОЛДАНЫЛУЫ.
Мысал 1. а, в параллель түзулері және оларға
А ( а ( с, В (в( с
34-сурет.
түзуін жүргіземіз және осыдан с түзуінің екі жағынан
Мысал 2. Берілген шеңбермен түзулерге қиылатын берілген
Р және О нүктелерін қосамыз. Сонда РО(МN. Осылайша
шеңбердің бойында жатады.
35-сурет.
Енді біз мына қорытындыға келеміз: ізделінді нүктелердің геометриялық
Мысал 3. Берілген екі нүктеге дейінгі арақашықтықтың квадраттарының
36-cурет.
геометриялық орынын іздейміз, АМ2-ВМ2=С2, С – берілген
Алдымен берілген қасиеттерге ие болатын, АВ түзуінің нүктелерін
, шарты бойынша, яғни, ;
Осылайша, АВ түзуінде тек қана бір ізделінді нүктенің
Бұл нүктенің жағдайы (1) формуласымен анықталады. Енді бұдан
АР2-ВР2=(АМ2+МР2)-(ВМ2+МР2)=АМ2-ВМ2=С2
Ары қарай қарастыра отырып, басқа нүктелер жоқ екеніне
Мысал 4. Екі қиылысатын жазықтықтарға дейінгі қашықтықтың қосындысы
МС және МВ түзулері осы жазықтықта жатады. Жазықтықта
37-сурет.
дейінгі қашықтықтың қосындысы тұрақты m болатын нүктенің геометриялық
Мысал 5. Кеңістікте а түзуіне тиісті α және
Параллель α және β жазықтықтарынан бірдей қашықтықта жатқан
Егер а||α болса, онда екі жағдай мүмкін :
а түзуінің нүктелері α және β жазықтықтарынан әртүрлі
а түзуінің нүктелері α және β жазықтықтарынан бірдей
Қорытынды
Сонымен жазықтықтағы геометриялық орындарға қарағанда кеңістіктегі геометриялық орындар
Олардың кейбірі жазықтықтағы табиғи жалпыланған геометриялық орын болып
Бірақ кеңістікте геометриялық орынға есеп шығару барысында жазықтықтағы
Кеңістікте тек нүктелердің ғана емес, түзулердің де геометриялық
Геометриялық орын бір, екі және одан да көп
Жазықтықта болсын, кеңістікте болсын геометрияға жаңа денелердің барлығы
Қолданылған әдебиеттер тізімі:
Б. И. Аргунов, М. Б. Балк, Геометрические построение
Н. В Наумович, Геометрические места в пространстве и
А. П. Киселев,Элементарная геометрия, Москва – 1996.
Н. А. Глаголев, Сборник геометрических задач на построение,
Д. И. Перепелкин, Поверхности второго порядка как
А. Адлер, Теория геометрических построений, «Учпедгиз» – 1938.
И. М. Яглом, Геометрия точек и геометрия приямых,
Н. Ф. Четверухин, Чертежы пространственных фигур в курс
А. В.Погорелев, Элементарная геометрия. Планиметрия, Москва «Наука»—1969.
А. В.Погорелев, Элементарная геометрия. Стреометрия, Москва «Наука»—1970.
А. Р. Мазаник, Задачи на построение по геометрии
Қосымша
25-сурет.
26-сурет.
28-сурет.
30-сурет.
6
В
А
а
B
Q
P
A
c
M
N
в
p
h
h
A
a
а
l
b
a
11-сурет.
10-сурет.
7-сурет.
6-сурет.
4-сурет.
5-сурет.
4-сурет.
3-сурет.
2-сурет.
1-сурет.
P
Q
B
M
N BBB
А
12-сурет.
13-сурет.
15-сурет.
18-сурет.
19-сурет.
27-сурет.
28-сурет.
29-сурет.
30-сурет.
31-сурет.
32-сурет.
33-сурет.
18-сурет.
18-сурет.
24-сурет.
