TOPREFERAT.COM.KZ - Қазақша рефераттар



МАЗМҰНЫ - www.topreferat.com.kz

Lp кеңістігі және сызықтық операторлар . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Сызықтық емес Урысон интегралдық

операторының кейбір қасиеттері . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Урысон операторының бір классының

үзіліссіздік критерийлері . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Әдебиет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Жұмыс көлемі: - бет
Пәні: Математика

-----------------------------------------------------------------------------------

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫСТЫҢ ҚЫСҚАРТЫЛҒАН МӘТІНІ



Мазмұны

Lp кеңістігі және сызықтық операторлар . . .
Сызықтық емес Урысон интегралдық

операторының кейбір қасиеттері . . . . .
Урысон операторының бір классының

үзіліссіздік критерийлері . . . . . .
Әдебиет . . . . . . . .
Lp кеңістігі және сызықтық операторлар

1-анықтама. f(x) өлшемді функциясы жоғарғыдай біз функциялардың шектелуін
.

Мұндай функциялар жиыны Lp арқылы белгілеу қабылданған (немесе
1-теорема. f(x) функциясы, р>1 дәрежелі қосындыланатын яғни
Расында да егер E=[a, b], A=E( ), B=E-A
2-теорема. Lp-ға кіретін екі функцияның қосындысы да осы класқа
Шынында да, f(x) және g(x) Lp-ға кіреді делік.
E=[a, b], A=E , B=E-A десек, онда
,

бұдан

екендігі шығады.

Осылайша біз шекті интегралданатынына көз
Мұндағы k – шекті тұрақтылық.

р>1 болсын. саны р-ға
болаиыны себепті q-ға түйіндес көрсеткіш р бар, демек бұл
3-теорема. Егер , ал ,
(1)

теңсіздігі дұрыс.

Дәлелдеуі: 0(0функциясын қарастырайық.

Оның туындысы болғанда оң, ал
(2)

шығады.

А және В екі оң сан болсын. Егер (2)-ге
.

Теореманың шарттында айтылғандай, p және q – екі өзара
(3)

шығады.

Бұл теңсіздіктер A>0 және B>0 үшін дәлелденген. Осы
Осыдан кейін теоремада айтылғандай f(x) және g(x) функцияларын
Егер бұлардың ішінен тек біреуі нөлге эквивалентті болса, онда
қатал оң деп тұжырымдап, мына функцияларды аламыз:

, .

Егер (3) – ке апарып
,
бұдан f(x)γ(x) көбейтіндінің қосындылануы, ал мұнымен бірге
Сонымен қатар

екенін ескеріп және (4) –ті интегралдап,

,

табамыз, бұдан (1) – ден күштірек

,

L(1) теңсіздігі Гëлдер теңсіздігі делініп, p=2
4-теорема. Егер және
(5)

Дәлелдеуі: Теоремада p=1 екені айқын. p>1 және q
Теоремадағы f (x)+g(x) екі қосынды Lp
(6)

береді. Осы сияқты

.
Бірақ . Демек

.

(6) және (7) – ден шығатыны

,

ал бұдан келіп теорема шығады. [ -
(5) –і теңсіздігі Минковский теңсіздігі деп аталады.
Бұл пайымдаумен Гëлдер мен Минковскийдің теңсіздігі анықталады:

,
.
2-анықтама. болсын.

саны f(x) функциясының нормасы (Lp - ның
Норманың келесі қасиеттері айқын:

І. және
ІІ. және дербес жағдайда
ІІІ. .

Норманың кіріспесі Lp және L2 үшін
Элементтердің жүйелі жинақтылығы - ден
.

Жинақтылықтың бұл түрін орташа ретті жинақтылық деп атайды. Осылайша
Бұл жерде біз жаңа идеялық моменттің болмағаны себепті сөйлемнің
Жинақтылықтың әлсіз түсінігі p>1 болғанда былай болады:
(10)

Lp- дағы g(x) – функциясының кез келген орнын
Гëлдер теңсіздігін пайдалана отырып орташа жинақталу жүйелілігінің (сол шекке)
Егер p=1 болса, түйіндес көрсеткіш болмайды. Мұндай жағдайда
Қорытындылай келе талдауда кеңістігінде қолданылатын (мұндағы
нақты санының Lp кеңістігінде жиынның барлық жүйелілігін x=(x1, x2,
саны элементінің нормасы деп
Норма енді әдеттегі қасиетке ие.

І. және
ІІ. және дербес жағдайда
ІІІ. .

Алғашқы екі қасиет айқын, ал үшінші (9) – дан
Е және Е1 – екі сызықтық топологиялық кеңістік болсын.

Сызықтық операторда Е Е1 деп

y= Ax,

шартты қанағаттандыратын

айтады.

DA жиынтығы А –
А операторы нүктесінде үзіліссіз болады,
Е және Е1 нормалданған кеңістік болғанда мына анықтама келесіге
бұдан шығатыны

жиыны Ах=0 үшін А сызықтық операторын ядросы деп аталады,
Бұл тараудың басында келтірілген сызықтық функционал ұғымы ол сызықтық
Сызықтық емес Урысон интегралдық
G және F – ақырғы өлшемді кеңістікте екі өлшемді
(1)

Урысон операторы дейді.
1-теорема. R(t,s,u) және R1(t,s,u) функциясы Каратеодори шарттын
(t G, s F, -∞болсын. В1 операторы мен R1(t,s,u) ядросы
Қарапайым түрде В1 операторы алынып, қасиеті белгілі
,
мұндағы K(t,s) – нақты өлшенетін функция (t
1-теорема. К операторы Lp Lq, үзіліссіз
а)

мұндағы =I, егер mesF=I және
б)

Кез келген с1 (-∞, +∞) үшін
Дәлелдеуі. Қажеттілігі. Lp – дан Lq –
мұндағы және mesF=I
Жеткіліктілігі. а) және б) шарты орындалсын. а) –
(3)

(n=1,2,…)
(3) – тің күшімен {uk}k≥0 Lp
(k=0,1,2,…)
ξ саны үшін Fξ жиынын көрсетіп, егер mesF.
мұндағы М – а) шартының саны. Жиын барысында
(3) – тің күшімен n1=n1(ξ) табылады. Мынадай

.
(6), (7) қатынасы а) шартын береді. n=0 және
(8)

Белгілеуі

,

(m=0,1,2,…).

Мұндағы δ – (5) – тің саны

mesF , m=0,1,2,…
аламыз.

Сондықтан un(s) функциясынан u0(s) – тан Lp
Онда Егоров теоремасынан шығады, Fδ
(10) және Fδ жиынынан un(s) тізбегінен u0(s)
(11)

Mұндағы

(9) және (10) – нан шығады, mes(FξLn).
Өйткені {un(s)} жинақтылық тізбегінен u0(s) Fδ-ға бірқалыпты,
s Fδ, n>n0.
(12) және (13) – тен n>n0-де α1 ≤
, n>max(n0, n1).

ξ2-теорема. mesF1) , с1
2) K үзіліссіз,

3) K толық үзіліссіз.

Дәлелдеуі: Жеткілікті келесі имплекацияны дәлелдеу 1)=>2)=>3) өйткені
1) шарт орындалсын. Онда кез келген ξ>0 δ=
.
{un(s)}n≥0 L∞ болсын және

(15)

(15) үшін ε>0 n0=n0(ε). Мынадай

(16)

барлық n>n0-де.

Келесі

.

(14) және (16) теңсіздігінен шығады

, n>n0

1)=>2) орынды екендігін көрсетеді.

K үзіліссіз болсын, K операторы компакт екенін дәлелдейік.

үйір функциясын қарастырайық. Т( ) тізбегі {K(t,cn)} болсын.
.

Сонымен, Т( ) үйір функциясы Lq-де компакт. Сондықтан
1) М=M( ) саны және
.
2) Кез келген ε>0 әсері δ=δ(ℓ,ε)>0
.
3) Кез келген ε>0 әсері N=N(ℓ,ε)>0
(19)

барлық |c|L∞-да шар болсын. Онда
,

,

барлық u(s) үшін, . Сондықтан Рисса теоремасының
Ескерту: Егер mesF=∞, онда K операторы L∞
Урысон операторының бір классының

үзіліссіздік критерийлері

G және F – ақырғы өлшемді кеңістікте екі өлшемді
(1)

Урысон операторы деп атайды, оның өзінің қосымшасы маңызды. (1)
«Мажоранты» операторы [1,2] танымал қасиет. Осы байланыста зерттеу операторы
Lp(F) және Lq(G) операторларын K – да
q – бүтін, K операторы Lp(0,1) –
Оператордың шенелген шартты, осы жұмыста көрсетілген, біздің бірінші теоремадан
Барлық жерде Lp=Lp(A) (1 p ∞)
1-теорема. К операторы Lp Lq
мұндағы =1, егер mesF=1 және
Дәлелдуі: Қажеттілігі. Lp Lq және шенелген
(2)

mesF=1 болсын. Онда (2) -ге
,

мұндағы B=2b.

Жеткілікті шарт.

а) [4] Минковский теңсіздігінен және шарттынан жинақтылығы шығады. а):

болсын. функциясын анықтаймыз.

,
мұндағы - жиынның ішігдегі F жиын,
ал - оның характеристикалық функциясы. Осы
(4)

онда

Енді mesF=∞ болсын. Онда 0 Lp –
а) орындалады. (3) С 0 болсын (mesF=∞ күшінен
Теорема дәлелденді.

1-анықтама. М үйір функциясыдан Lp біршенді абсолют үзіліссіз норма
Лемма. mesF=1 болсын. Онда а) шарты бірінші теореманың пара-пар
Сонда mesD(5)

Кез келген u(s) M үшін.

Дәлелдеуі. а) – дан б) шығатынын көрсетейік. а)
,

мұндағы В – u М-ға тәуелді болмайды. В
санын таңдайық, онда D үшін мынандай mesD.

б) шарты орындалсын. Онда дәлелдеуі оңай, кез келген
үшін .

Сондықтан а) шарты орындалмайды, онда жүйелік нақты санға
(6)

Жалпы шенелмеген, онда ұйғаруға болады.
,

мұндағы және
Lp: -да. Сонымен үйір функциясы un(n
.

Басқа түрде δ үшін n0 номер тәуелді, мынадай

n≥n0.

Сонымен n≥n0 үшін

немесе
(6) теңсіздік қайшылық. Лемма дәлелденді.

2-теорема. Егер q және K(t,u)≥0
Дәлелдеуі. Жеткіліктігі 1-теоремадан шығады. Мынау mesF=1 қажетті шарт
.
Функцияны қарастырайық:

,
мұндағы Fn F осындай mesF=1/(n2
Демек u(s) Lp

(7) және (8) – ден шығатыны

.

Біз қайшылыққа келдік. Теорема дәлелденді.

Салдар. K(t,u)≥0 (t Rn, -∞әсер етеді, - ға Lp(Rn)
(9)

кез келген С (-∞, +∞), мұндағы
Минковский теңсіздігін талдаудан жеткіліктілігі шығады.

Қажеттілігін көрсетейік. К операторы Lp(Rn) →L1(Rn) бейнелейтін болсын. Онда
Демек, оператор Lp(Rn) →
2-теореманың негізінен (9) теңсіздік орындалады.

Әдебиет

Ойнаров Р. Критерий непрерывности одного класса операторов Урысона –
Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустылник Е.И., Соболевский П.Б. Интегральные
Отелбаев М., Суворченкова Г.А. Необходимые и достаточные условия ограниченности
Ойнаров Р. Критерий ограниченности, компактности одного класса интегральных операторов
Данфорд Н., Шварц Д.Ж. Линейные операторы. Общая теория. М.,
Нурекенов Т.К., Калиев С. О полной непрерывности интегрального оператора
22